Rezolvați -2x^2+13x+24=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -2x^{2}+ax+bx+24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=16 b=-3$$

Rescrieți -2x^{2}+13x+24 ca \left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Factor 2x în primul și 3 în al doilea grup.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

Scoateți termenul comun -x+8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+8=0 și 2x+3=0.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 13 și c cu 24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 13 la pătrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu 24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 169 cu 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±19}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -13 cu 19.

$$x=\frac{6}{-4}$$

Reduceți fracția \frac{6}{-4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±19}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 19 din -13.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Împărțiți -32 la -4.

$$x=8$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Scădeți 24 din ambele părți ale ecuației.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

Scăderea 24 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

Împărțiți 13 la -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

Împărțiți -24 la -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

Împărțiți -\frac{13}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{13}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{13}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{13}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Adunați 12 cu \frac{169}{16}.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Adunați \frac{13}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$