Rezolvați -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți inegalitatea cu -1 pentru a face pozitiv coeficientul celei mai mari puteri din -2x^{2}+12x-14. Pentru că -1 este <0, direcția inegalității este schimbată.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 2, b cu -12 și c cu 14.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, x-\left(\sqrt{2}+3\right) și x-\left(3-\sqrt{2}\right) trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care x-\left(\sqrt{2}+3\right) este pozitiv și x-\left(3-\sqrt{2}\right) este negativ.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Tratați cazul în care x-\left(3-\sqrt{2}\right) este pozitiv și x-\left(\sqrt{2}+3\right) este negativ.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$