Rezolvați -18a^2-102a+168

$$- 18 a ^ { 2 } - 102 a + 168$$

Descompunere în factori

$$6\left(-a-7\right)\left(3a-4\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 6.

$$6\left(-3a^{2}-17a+28\right)$$

Să luăm -3a^{2}-17a+28. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca -3a^{2}+pa+qa+28. Pentru a găsi p și q, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$p+q=-17 pq=-3\times 28=-84$$

Deoarece pq este negativ, p și q au semne opuse. Deoarece p+q este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -17.

$$p=4 q=-21$$

Rescrieți -3a^{2}-17a+28 ca \left(-3a^{2}+4a\right)+\left(-21a+28\right).

$$\left(-3a^{2}+4a\right)+\left(-21a+28\right)$$

Factor -a în primul și -7 în al doilea grup.

$$-a\left(3a-4\right)-7\left(3a-4\right)$$

Scoateți termenul comun 3a-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3a-4\right)\left(-a-7\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$6\left(3a-4\right)\left(-a-7\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$-18a^{2}-102a+168=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\left(-18\right)\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Ridicați -102 la pătrat.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\left(-18\right)\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -18.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404+72\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Înmulțiți 72 cu 168.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404+12096}}{2\left(-18\right)}$$

Adunați 10404 cu 12096.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{22500}}{2\left(-18\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 22500.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±150}{2\left(-18\right)}$$

Opusul lui -102 este 102.

$$a=\frac{102±150}{2\left(-18\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -18.

$$a=\frac{102±150}{-36}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{102±150}{-36} atunci când ± este plus. Adunați 102 cu 150.

$$a=\frac{252}{-36}$$

Împărțiți 252 la -36.

$$a=-7$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{102±150}{-36} atunci când ± este minus. Scădeți 150 din 102.

$$a=-\frac{48}{-36}$$

Reduceți fracția \frac{-48}{-36} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$a=\frac{4}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -7 și x_{2} cu \frac{4}{3}.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a-\left(-7\right)\right)\left(a-\frac{4}{3}\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a+7\right)\left(a-\frac{4}{3}\right)$$

Scădeți \frac{4}{3} din a găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a+7\right)\times \frac{-3a+4}{-3}$$

Simplificați cu 3, cel mai mare factor comun din -18 și 3.

$$-18a^{2}-102a+168=6\left(a+7\right)\left(-3a+4\right)$$

Evaluați

$$168-102a-18a^{2}$$