Rezolvați -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Descompunere în factori

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 4.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Să luăm -4t^{2}+24t-27. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca -4t^{2}+at+bt-27. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Soluția este perechea care dă suma de 24.

$$a=18 b=6$$

Rescrieți -4t^{2}+24t-27 ca \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

Factor -2t în primul și 3 în al doilea grup.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Scoateți termenul comun 2t-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Ridicați 96 la pătrat.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 64 cu -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Adunați 9216 cu -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-96±48}{-32} atunci când ± este plus. Adunați -96 cu 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Reduceți fracția \frac{-48}{-32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-96±48}{-32} atunci când ± este minus. Scădeți 48 din -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Reduceți fracția \frac{-144}{-32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{3}{2} și x_{2} cu \frac{9}{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Scădeți \frac{3}{2} din t găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Scădeți \frac{9}{2} din t găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Înmulțiți \frac{-2t+3}{-2} cu \frac{-2t+9}{-2} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -2 cu -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Simplificați cu 4, cel mai mare factor comun din -16 și 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Evaluați

$$-16t^{2}+96t-108$$