Rezolvați -16t^2+92t+20=0

$$- 16 t ^ { 2 } + 92 t + 20 = 0$$

Rezolvați pentru t

$$t = \frac{\sqrt{609} + 23}{8} \approx 5,95974067$$

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}\approx -0,20974067$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-16t^{2}+92t+20=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -16, b cu 92 și c cu 20 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-92±\sqrt{92^{2}-4\left(-16\right)\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Ridicați 92 la pătrat.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464-4\left(-16\right)\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -16.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464+64\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 64 cu 20.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464+1280}}{2\left(-16\right)}$$

Adunați 8464 cu 1280.

$$t=\frac{-92±\sqrt{9744}}{2\left(-16\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9744.

$$t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -16.

$$t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32} atunci când ± este plus. Adunați -92 cu 4\sqrt{609}.

$$t=\frac{4\sqrt{609}-92}{-32}$$

Împărțiți -92+4\sqrt{609} la -32.

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{609} din -92.

$$t=\frac{-4\sqrt{609}-92}{-32}$$

Împărțiți -92-4\sqrt{609} la -32.

$$t=\frac{\sqrt{609}+23}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8} t=\frac{\sqrt{609}+23}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+92t+20=0$$

Scădeți 20 din ambele părți ale ecuației.

$$-16t^{2}+92t+20-20=-20$$

Scăderea 20 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-16t^{2}+92t=-20$$

Se împart ambele părți la -16.

$$\frac{-16t^{2}+92t}{-16}=-\frac{20}{-16}$$

Împărțirea la -16 anulează înmulțirea cu -16.

$$t^{2}+\frac{92}{-16}t=-\frac{20}{-16}$$

Reduceți fracția \frac{92}{-16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t=-\frac{20}{-16}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{-16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t=\frac{5}{4}$$

Împărțiți -\frac{23}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{23}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{23}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\left(-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{23}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{23}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}=\frac{5}{4}+\frac{529}{64}$$

Adunați \frac{5}{4} cu \frac{529}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}=\frac{609}{64}$$

Factor t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{609}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{23}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{609}{64}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{23}{8}=\frac{\sqrt{609}}{8} t-\frac{23}{8}=-\frac{\sqrt{609}}{8}$$

Adunați \frac{23}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{\sqrt{609}+23}{8} t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}$$