Rezolvați -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Rezolvați pentru t

$$t=1$$

$$t=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 128 din ambele părți.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Scădeți 128 din 80 pentru a obține -48.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Se împart ambele părți la 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -t^{2}+at+bt-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=3 b=1$$

Rescrieți -t^{2}+4t-3 ca \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right).

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Scoateți factorul comun -t din -t^{2}+3t.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Scoateți termenul comun t-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați t-3=0 și -t+1=0.

$$t=3 t=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Scădeți 128 din ambele părți ale ecuației.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

Scăderea 128 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Scădeți 128 din 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -16, b cu 64 și c cu -48 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Ridicați 64 la pătrat.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 64 cu -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Adunați 4096 cu -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1024.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-64±32}{-32} atunci când ± este plus. Adunați -64 cu 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Împărțiți -32 la -32.

$$t=1$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-64±32}{-32} atunci când ± este minus. Scădeți 32 din -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Împărțiți -96 la -32.

$$t=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=1 t=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Scădeți 80 din ambele părți ale ecuației.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

Scăderea 80 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Scădeți 80 din 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Se împart ambele părți la -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

Împărțirea la -16 anulează înmulțirea cu -16.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Împărțiți 64 la -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Împărțiți 48 la -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Adunați -3 cu 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Factor t^{2}-4t+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplificați.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$t=3 t=1$$