Rezolvați -14x^2+x+4=0

$$- 14 x ^ { 2 } + x + 4 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{4}{7}\approx 0,571428571$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -14x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=-14\times 4=-56$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=8 b=-7$$

Rescrieți -14x^{2}+x+4 ca \left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right).

$$\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)$$

Scoateți factorul comun 2x din -14x^{2}+8x.

$$2x\left(-7x+4\right)-7x+4$$

Scoateți termenul comun -7x+4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-7x+4\right)\left(2x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -7x+4=0 și 2x+1=0.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -14, b cu 1 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -14.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Înmulțiți 56 cu 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\left(-14\right)}$$

Adunați 1 cu 224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\left(-14\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 225.

$$x=\frac{-1±15}{2\left(-14\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -14.

$$x=\frac{-1±15}{-28}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±15}{-28} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 15.

$$x=\frac{14}{-28}$$

Reduceți fracția \frac{14}{-28} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±15}{-28} atunci când ± este minus. Scădeți 15 din -1.

$$x=-\frac{16}{-28}$$

Reduceți fracția \frac{-16}{-28} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{4}{7}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{4}{7}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$-14x^{2}+x+4-4=-4$$

Scăderea 4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-14x^{2}+x=-4$$

Se împart ambele părți la -14.

$$\frac{-14x^{2}+x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

Împărțirea la -14 anulează înmulțirea cu -14.

$$x^{2}+\frac{1}{-14}x=-\frac{4}{-14}$$

Împărțiți 1 la -14.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{-14} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=\frac{2}{7}$$

Împărțiți -\frac{1}{14}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{28}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{28} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{28} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{2}{7}+\frac{1}{784}$$

Adunați \frac{2}{7} cu \frac{1}{784} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{225}{784}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{225}{784}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{784}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{28}=\frac{15}{28} x-\frac{1}{28}=-\frac{15}{28}$$

Adunați \frac{1}{28} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$