Rezolvați -10x^2+400x+45000

$$- 10 x ^ { 2 } + 400 x + 45000$$

Descompunere în factori

$$-10\left(x-90\right)\left(x+50\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 10.

$$10\left(-x^{2}+40x+4500\right)$$

Să luăm -x^{2}+40x+4500. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+4500. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=40 ab=-4500=-4500$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -4500.

$$-1,4500 -2,2250 -3,1500 -4,1125 -5,900 -6,750 -9,500 -10,450 -12,375 -15,300 -18,250 -20,225 -25,180 -30,150 -36,125 -45,100 -50,90 -60,75$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+4500=4499 -2+2250=2248 -3+1500=1497 -4+1125=1121 -5+900=895 -6+750=744 -9+500=491 -10+450=440 -12+375=363 -15+300=285 -18+250=232 -20+225=205 -25+180=155 -30+150=120 -36+125=89 -45+100=55 -50+90=40 -60+75=15$$

Soluția este perechea care dă suma de 40.

$$a=90 b=-50$$

Rescrieți -x^{2}+40x+4500 ca \left(-x^{2}+90x\right)+\left(-50x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+90x\right)+\left(-50x+4500\right)$$

Factor -x în primul și -50 în al doilea grup.

$$-x\left(x-90\right)-50\left(x-90\right)$$

Scoateți termenul comun x-90 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-90\right)\left(-x-50\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$10\left(x-90\right)\left(-x-50\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+400x+45000=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-400±\sqrt{400^{2}-4\left(-10\right)\times 45000}}{2\left(-10\right)}$$

Ridicați 400 la pătrat.

$$x=\frac{-400±\sqrt{160000-4\left(-10\right)\times 45000}}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -10.

$$x=\frac{-400±\sqrt{160000+40\times 45000}}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți 40 cu 45000.

$$x=\frac{-400±\sqrt{160000+1800000}}{2\left(-10\right)}$$

Adunați 160000 cu 1800000.

$$x=\frac{-400±\sqrt{1960000}}{2\left(-10\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1960000.

$$x=\frac{-400±1400}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -10.

$$x=\frac{-400±1400}{-20}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-400±1400}{-20} atunci când ± este plus. Adunați -400 cu 1400.

$$x=\frac{1000}{-20}$$

Împărțiți 1000 la -20.

$$x=-50$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-400±1400}{-20} atunci când ± este minus. Scădeți 1400 din -400.

$$x=-\frac{1800}{-20}$$

Împărțiți -1800 la -20.

$$x=90$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -50 și x_{2} cu 90.

$$-10x^{2}+400x+45000=-10\left(x-\left(-50\right)\right)\left(x-90\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$-10x^{2}+400x+45000=-10\left(x+50\right)\left(x-90\right)$$

Evaluați

$$-10\left(x-90\right)\left(x+50\right)$$