Rezolvați -15t^2-9t+45=0

$$- 15 t ^ { 2 } - 9 t + 45 = 0$$

Rezolvați pentru t

$$t = \frac{\sqrt{309} - 3}{10} \approx 1,457839583$$

$$t=\frac{-\sqrt{309}-3}{10}\approx -2,057839583$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-15t^{2}-9t+45=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -15, b cu -9 și c cu 45 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-15\right)\times 45}}{2\left(-15\right)}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-15\right)\times 45}}{2\left(-15\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -15.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+60\times 45}}{2\left(-15\right)}$$

Înmulțiți 60 cu 45.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+2700}}{2\left(-15\right)}$$

Adunați 81 cu 2700.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{2781}}{2\left(-15\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2781.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±3\sqrt{309}}{2\left(-15\right)}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$t=\frac{9±3\sqrt{309}}{2\left(-15\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -15.

$$t=\frac{9±3\sqrt{309}}{-30}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{9±3\sqrt{309}}{-30} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 3\sqrt{309}.

$$t=\frac{3\sqrt{309}+9}{-30}$$

Împărțiți 9+3\sqrt{309} la -30.

$$t=\frac{-\sqrt{309}-3}{10}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{9±3\sqrt{309}}{-30} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{309} din 9.

$$t=\frac{9-3\sqrt{309}}{-30}$$

Împărțiți 9-3\sqrt{309} la -30.

$$t=\frac{\sqrt{309}-3}{10}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{-\sqrt{309}-3}{10} t=\frac{\sqrt{309}-3}{10}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-15t^{2}-9t+45=0$$

Scădeți 45 din ambele părți ale ecuației.

$$-15t^{2}-9t+45-45=-45$$

Scăderea 45 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-15t^{2}-9t=-45$$

Se împart ambele părți la -15.

$$\frac{-15t^{2}-9t}{-15}=-\frac{45}{-15}$$

Împărțirea la -15 anulează înmulțirea cu -15.

$$t^{2}+\left(-\frac{9}{-15}\right)t=-\frac{45}{-15}$$

Reduceți fracția \frac{-9}{-15} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$t^{2}+\frac{3}{5}t=-\frac{45}{-15}$$

Împărțiți -45 la -15.

$$t^{2}+\frac{3}{5}t=3$$

Împărțiți \frac{3}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{10}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}+\frac{3}{5}t+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=3+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}+\frac{3}{5}t+\frac{9}{100}=3+\frac{9}{100}$$

Adunați 3 cu \frac{9}{100}.

$$t^{2}+\frac{3}{5}t+\frac{9}{100}=\frac{309}{100}$$

Factor t^{2}+\frac{3}{5}t+\frac{9}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{309}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{309}{100}}$$

Simplificați.

$$t+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{309}}{10} t+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{309}}{10}$$

Scădeți \frac{3}{10} din ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{\sqrt{309}-3}{10} t=\frac{-\sqrt{309}-3}{10}$$