Rezolvați -y^2+10y+400=0

$$- { y }^{ 2 } +10y+400=0$$

Rezolvați pentru y

$$y=5\sqrt{17}+5\approx 25,615528128$$

$$y=5-5\sqrt{17}\approx -15,615528128$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 10 și c cu 400 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+4\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 400.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+1600}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 100 cu 1600.

$$y=\frac{-10±\sqrt{1700}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1700.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -10 cu 10\sqrt{17}.

$$y=\frac{10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Împărțiți -10+10\sqrt{17} la -2.

$$y=5-5\sqrt{17}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 10\sqrt{17} din -10.

$$y=\frac{-10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Împărțiți -10-10\sqrt{17} la -2.

$$y=5\sqrt{17}+5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=5-5\sqrt{17} y=5\sqrt{17}+5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Scădeți 400 din ambele părți ale ecuației.

$$-y^{2}+10y+400-400=-400$$

Scăderea 400 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-y^{2}+10y=-400$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-y^{2}+10y}{-1}=-\frac{400}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$y^{2}+\frac{10}{-1}y=-\frac{400}{-1}$$

Împărțiți 10 la -1.

$$y^{2}-10y=-\frac{400}{-1}$$

Împărțiți -400 la -1.

$$y^{2}-10y=400$$

Împărțiți -10, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -5. Apoi, adunați pătratul lui -5 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=400+\left(-5\right)^{2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$y^{2}-10y+25=400+25$$

Adunați 400 cu 25.

$$y^{2}-10y+25=425$$

Factor y^{2}-10y+25. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-5\right)^{2}=425$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{425}$$

Simplificați.

$$y-5=5\sqrt{17} y-5=-5\sqrt{17}$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$y=5\sqrt{17}+5 y=5-5\sqrt{17}$$