Rezolvați -x^2-4x-3=left(1-frac{3sqrt{2}}{7}right)x+3-frac{9-sqrt{2}}{7}

$$- { x }^{ 2 } -4x-3 = \left( 1- \frac{ 3 \sqrt{ 2 } }{ 7 } \right) x+3- \frac{ 9- \sqrt{ 2 } }{ 7 }$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=-\frac{i\sqrt{238\sqrt{2}-319}}{14}+\frac{3\sqrt{2}}{14}-\frac{5}{2}\approx -2,196954237-0,299513448i$$

$$x=\frac{i\sqrt{238\sqrt{2}-319}}{14}+\frac{3\sqrt{2}}{14}-\frac{5}{2}\approx -2,196954237+0,299513448i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 7.

$$-7x^{2}-28x-21=7\left(1-\frac{3\sqrt{2}}{7}\right)x+21-\left(9-\sqrt{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7 cu 1-\frac{3\sqrt{2}}{7}.

$$-7x^{2}-28x-21=\left(7+7\left(-\frac{3\sqrt{2}}{7}\right)\right)x+21-\left(9-\sqrt{2}\right)$$

Exprimați 7\left(-\frac{3\sqrt{2}}{7}\right) ca fracție unică.

$$-7x^{2}-28x-21=\left(7+\frac{-7\times 3\sqrt{2}}{7}\right)x+21-\left(9-\sqrt{2}\right)$$

Reduceți prin eliminare 7 și 7.

$$-7x^{2}-28x-21=\left(7-3\sqrt{2}\right)x+21-\left(9-\sqrt{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7-3\sqrt{2} cu x.

$$-7x^{2}-28x-21=7x-3x\sqrt{2}+21-\left(9-\sqrt{2}\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 9-\sqrt{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-7x^{2}-28x-21=7x-3x\sqrt{2}+21-9+\sqrt{2}$$

Scădeți 9 din 21 pentru a obține 12.

$$-7x^{2}-28x-21=7x-3x\sqrt{2}+12+\sqrt{2}$$

Scădeți 7x din ambele părți.

$$-7x^{2}-28x-21-7x=-3x\sqrt{2}+12+\sqrt{2}$$

Combinați -28x cu -7x pentru a obține -35x.

$$-7x^{2}-35x-21=-3x\sqrt{2}+12+\sqrt{2}$$

Adăugați 3x\sqrt{2} la ambele părți.

$$-7x^{2}-35x-21+3x\sqrt{2}=12+\sqrt{2}$$

Scădeți 12 din ambele părți.

$$-7x^{2}-35x-21+3x\sqrt{2}-12=\sqrt{2}$$

Scădeți 12 din -21 pentru a obține -33.

$$-7x^{2}-35x-33+3x\sqrt{2}=\sqrt{2}$$

Scădeți \sqrt{2} din ambele părți.

$$-7x^{2}-35x-33+3x\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$$

Combinați toți termenii care conțin x.

$$-7x^{2}+\left(-35+3\sqrt{2}\right)x-33-\sqrt{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-7x^{2}+\left(3\sqrt{2}-35\right)x-\sqrt{2}-33=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -7, b cu -35+3\sqrt{2} și c cu -33-\sqrt{2} în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(3\sqrt{2}-35\right)±\sqrt{\left(3\sqrt{2}-35\right)^{2}-4\left(-7\right)\left(-\sqrt{2}-33\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Ridicați -35+3\sqrt{2} la pătrat.

$$x=\frac{-\left(3\sqrt{2}-35\right)±\sqrt{1243-210\sqrt{2}-4\left(-7\right)\left(-\sqrt{2}-33\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -7.

$$x=\frac{-\left(3\sqrt{2}-35\right)±\sqrt{1243-210\sqrt{2}+28\left(-\sqrt{2}-33\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Înmulțiți 28 cu -33-\sqrt{2}.

$$x=\frac{-\left(3\sqrt{2}-35\right)±\sqrt{1243-210\sqrt{2}-28\sqrt{2}-924}}{2\left(-7\right)}$$

Adunați 1243-210\sqrt{2} cu -924-28\sqrt{2}.

$$x=\frac{-\left(3\sqrt{2}-35\right)±\sqrt{319-238\sqrt{2}}}{2\left(-7\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 319-238\sqrt{2}.

$$x=\frac{-\left(3\sqrt{2}-35\right)±i\sqrt{-\left(319-238\sqrt{2}\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Opusul lui -35+3\sqrt{2} este 35-3\sqrt{2}.

$$x=\frac{35-3\sqrt{2}±i\sqrt{-\left(319-238\sqrt{2}\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -7.

$$x=\frac{35-3\sqrt{2}±i\sqrt{-\left(319-238\sqrt{2}\right)}}{-14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{35-3\sqrt{2}±i\sqrt{-\left(319-238\sqrt{2}\right)}}{-14} atunci când ± este plus. Adunați 35-3\sqrt{2} cu i\sqrt{-\left(319-238\sqrt{2}\right)}.

$$x=\frac{35-3\sqrt{2}+i\sqrt{238\sqrt{2}-319}}{-14}$$

Împărțiți 35-3\sqrt{2}+i\sqrt{-319+238\sqrt{2}} la -14.

$$x=-\frac{i\sqrt{238\sqrt{2}-319}}{14}+\frac{3\sqrt{2}}{14}-\frac{5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{35-3\sqrt{2}±i\sqrt{-\left(319-238\sqrt{2}\right)}}{-14} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{-\left(319-238\sqrt{2}\right)} din 35-3\sqrt{2}.

$$x=\frac{-i\sqrt{238\sqrt{2}-319}+35-3\sqrt{2}}{-14}$$

Împărțiți 35-3\sqrt{2}-i\sqrt{-319+238\sqrt{2}} la -14.

$$x=\frac{i\sqrt{238\sqrt{2}-319}}{14}+\frac{3\sqrt{2}}{14}-\frac{5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{i\sqrt{238\sqrt{2}-319}}{14}+\frac{3\sqrt{2}}{14}-\frac{5}{2} x=\frac{i\sqrt{238\sqrt{2}-319}}{14}+\frac{3\sqrt{2}}{14}-\frac{5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 7.

$$-7x^{2}-28x-21=7\left(1-\frac{3\sqrt{2}}{7}\right)x+21-\left(9-\sqrt{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7 cu 1-\frac{3\sqrt{2}}{7}.

$$-7x^{2}-28x-21=\left(7+7\left(-\frac{3\sqrt{2}}{7}\right)\right)x+21-\left(9-\sqrt{2}\right)$$

Exprimați 7\left(-\frac{3\sqrt{2}}{7}\right) ca fracție unică.

$$-7x^{2}-28x-21=\left(7+\frac{-7\times 3\sqrt{2}}{7}\right)x+21-\left(9-\sqrt{2}\right)$$

Reduceți prin eliminare 7 și 7.

$$-7x^{2}-28x-21=\left(7-3\sqrt{2}\right)x+21-\left(9-\sqrt{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7-3\sqrt{2} cu x.

$$-7x^{2}-28x-21=7x-3x\sqrt{2}+21-\left(9-\sqrt{2}\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 9-\sqrt{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-7x^{2}-28x-21=7x-3x\sqrt{2}+21-9+\sqrt{2}$$

Scădeți 9 din 21 pentru a obține 12.

$$-7x^{2}-28x-21=7x-3x\sqrt{2}+12+\sqrt{2}$$

Scădeți 7x din ambele părți.

$$-7x^{2}-28x-21-7x=-3x\sqrt{2}+12+\sqrt{2}$$

Combinați -28x cu -7x pentru a obține -35x.

$$-7x^{2}-35x-21=-3x\sqrt{2}+12+\sqrt{2}$$

Adăugați 3x\sqrt{2} la ambele părți.

$$-7x^{2}-35x-21+3x\sqrt{2}=12+\sqrt{2}$$

Adăugați 21 la ambele părți.

$$-7x^{2}-35x+3x\sqrt{2}=12+\sqrt{2}+21$$

Adunați 12 și 21 pentru a obține 33.

$$-7x^{2}-35x+3x\sqrt{2}=33+\sqrt{2}$$

Combinați toți termenii care conțin x.

$$-7x^{2}+\left(-35+3\sqrt{2}\right)x=33+\sqrt{2}$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-7x^{2}+\left(3\sqrt{2}-35\right)x=\sqrt{2}+33$$

Se împart ambele părți la -7.

$$\frac{-7x^{2}+\left(3\sqrt{2}-35\right)x}{-7}=\frac{\sqrt{2}+33}{-7}$$

Împărțirea la -7 anulează înmulțirea cu -7.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{2}-35}{-7}x=\frac{\sqrt{2}+33}{-7}$$

Împărțiți -35+3\sqrt{2} la -7.

$$x^{2}+\left(-\frac{3\sqrt{2}}{7}+5\right)x=\frac{\sqrt{2}+33}{-7}$$

Împărțiți 33+\sqrt{2} la -7.

$$x^{2}+\left(-\frac{3\sqrt{2}}{7}+5\right)x=\frac{-\sqrt{2}-33}{7}$$

Împărțiți 5-\frac{3\sqrt{2}}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{14}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{14} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\left(-\frac{3\sqrt{2}}{7}+5\right)x+\left(-\frac{3\sqrt{2}}{14}+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{-\sqrt{2}-33}{7}+\left(-\frac{3\sqrt{2}}{14}+\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{14} la pătrat.

$$x^{2}+\left(-\frac{3\sqrt{2}}{7}+5\right)x-\frac{15\sqrt{2}}{14}+\frac{1243}{196}=\frac{-\sqrt{2}-33}{7}-\frac{15\sqrt{2}}{14}+\frac{1243}{196}$$

Adunați \frac{-33-\sqrt{2}}{7} cu \frac{1243}{196}-\frac{15\sqrt{2}}{14}.

$$x^{2}+\left(-\frac{3\sqrt{2}}{7}+5\right)x-\frac{15\sqrt{2}}{14}+\frac{1243}{196}=-\frac{17\sqrt{2}}{14}+\frac{319}{196}$$

Factor x^{2}+\left(-\frac{3\sqrt{2}}{7}+5\right)x-\frac{15\sqrt{2}}{14}+\frac{1243}{196}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3\sqrt{2}}{14}+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{17\sqrt{2}}{14}+\frac{319}{196}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3\sqrt{2}}{14}+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17\sqrt{2}}{14}+\frac{319}{196}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3\sqrt{2}}{14}+\frac{5}{2}=\frac{i\sqrt{-\left(319-238\sqrt{2}\right)}}{14} x-\frac{3\sqrt{2}}{14}+\frac{5}{2}=-\frac{i\sqrt{238\sqrt{2}-319}}{14}$$

Scădeți \frac{5}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{14} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{i\sqrt{238\sqrt{2}-319}}{14}+\frac{3\sqrt{2}}{14}-\frac{5}{2} x=-\frac{i\sqrt{238\sqrt{2}-319}}{14}+\frac{3\sqrt{2}}{14}-\frac{5}{2}$$