Rezolvați -x^2+2x-1=0

$$- { x }^{ 2 } +2x-1=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx-1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=-\left(-1\right)=1$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=1 b=1$$

Rescrieți -x^{2}+2x-1 ca \left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right)$$

Scoateți factorul comun -x din -x^{2}+x.

$$-x\left(x-1\right)+x-1$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(-x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și -x+1=0.

$$x=1 x=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+2x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 2 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 4 cu -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{0}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{2}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Împărțiți -2 la -2.

$$x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$-x^{2}+2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-x^{2}+2x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$-x^{2}+2x=1$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Împărțiți 2 la -1.

$$x^{2}-2x=\frac{1}{-1}$$

Împărțiți 1 la -1.

$$x^{2}-2x=-1$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=-1+1$$

Adunați -1 cu 1.

$$x^{2}-2x+1=0$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-1=0 x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=1$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=1$$