Rezolvați -x^2+1+x=5

$$- { x }^{ 2 } +1+x = 5$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+1}{2}\approx 0,5-1,936491673i$$

$$x=\frac{1+\sqrt{15}i}{2}\approx 0,5+1,936491673i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+x+1=5$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$-x^{2}+x+1-5=5-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-x^{2}+x+1-5=0$$

Scădeți 5 din 1.

$$-x^{2}+x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 1 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-16}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 1 cu -16.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-15}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -15.

$$x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{-2}$$

Împărțiți -1+i\sqrt{15} la -2.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{15} din -1.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{-2}$$

Împărțiți -1-i\sqrt{15} la -2.

$$x=\frac{1+\sqrt{15}i}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{15}i}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x+1=5$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$-x^{2}+x+1-1=5-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-x^{2}+x=5-1$$

Scădeți 1 din 5.

$$-x^{2}+x=4$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=\frac{4}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=\frac{4}{-1}$$

Împărțiți 1 la -1.

$$x^{2}-x=\frac{4}{-1}$$

Împărțiți 4 la -1.

$$x^{2}-x=-4$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-4+\frac{1}{4}$$

Adunați -4 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{15}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{15}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{15}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{15}i}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1+\sqrt{15}i}{2} x=\frac{-\sqrt{15}i+1}{2}$$