Rezolvați -4/x+1-3/x=-2

$$- \frac{ 4 }{ x+1 } - \frac{ 3 }{ x } = -2$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,x.

$$-x\times 4-\left(x+1\right)\times 3=-2x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 3.

$$-x\times 4-\left(3x+3\right)=-2x\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 3x+3, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-x\times 4-3x-3=-2x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2x cu x+1.

$$-x\times 4-3x-3=-2x^{2}-2x$$

Adăugați 2x^{2} la ambele părți.

$$-x\times 4-3x-3+2x^{2}=-2x$$

Adăugați 2x la ambele părți.

$$-x\times 4-3x-3+2x^{2}+2x=0$$

Combinați -3x cu 2x pentru a obține -x.

$$-x\times 4-x-3+2x^{2}=0$$

Înmulțiți -1 cu 4 pentru a obține -4.

$$-4x-x-3+2x^{2}=0$$

Combinați -4x cu -x pentru a obține -5x.

$$-5x-3+2x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-5 ab=2\left(-3\right)=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -6 de produs.

$$1,-6 2,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-6 b=1$$

Rescrieți 2x^{2}-5x-3 ca \left(2x^{2}-6x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(x-3\right)$$

Scoateți factorul comun 2x din 2x^{2}-6x.

$$2x\left(x-3\right)+x-3$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-3=0 și 2x+1=0.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,x.

$$-x\times 4-\left(x+1\right)\times 3=-2x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 3.

$$-x\times 4-\left(3x+3\right)=-2x\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 3x+3, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-x\times 4-3x-3=-2x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2x cu x+1.

$$-x\times 4-3x-3=-2x^{2}-2x$$

Adăugați 2x^{2} la ambele părți.

$$-x\times 4-3x-3+2x^{2}=-2x$$

Adăugați 2x la ambele părți.

$$-x\times 4-3x-3+2x^{2}+2x=0$$

Combinați -3x cu 2x pentru a obține -x.

$$-x\times 4-x-3+2x^{2}=0$$

Înmulțiți -1 cu 4 pentru a obține -4.

$$-4x-x-3+2x^{2}=0$$

Combinați -4x cu -x pentru a obține -5x.

$$-5x-3+2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -5 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 2}$$

Adunați 25 cu 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 2}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{5±7}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±7}{4} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 7.

$$x=\frac{12}{4}$$

Împărțiți 12 la 4.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±7}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 5.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,x.

$$-x\times 4-\left(x+1\right)\times 3=-2x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 3.

$$-x\times 4-\left(3x+3\right)=-2x\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 3x+3, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-x\times 4-3x-3=-2x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2x cu x+1.

$$-x\times 4-3x-3=-2x^{2}-2x$$

Adăugați 2x^{2} la ambele părți.

$$-x\times 4-3x-3+2x^{2}=-2x$$

Adăugați 2x la ambele părți.

$$-x\times 4-3x-3+2x^{2}+2x=0$$

Combinați -3x cu 2x pentru a obține -x.

$$-x\times 4-x-3+2x^{2}=0$$

Adăugați 3 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$-x\times 4-x+2x^{2}=3$$

Înmulțiți -1 cu 4 pentru a obține -4.

$$-4x-x+2x^{2}=3$$

Combinați -4x cu -x pentru a obține -5x.

$$-5x+2x^{2}=3$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x=3$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{3}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$$

Împărțiți -\frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

Adunați \frac{3}{2} cu \frac{25}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{49}{16}$$

Factorul x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{7}{4}$$

Adunați \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$