Rezolvați -1/5x^2+3x+16/5=0

$$- \frac{ 1 }{ 5 } { x }^{ 2 } +3x+ \frac{ 16 }{ 5 } =0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=16$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -\frac{1}{5}, b cu 3 și c cu \frac{16}{5} în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{4}{5}\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Înmulțiți \frac{4}{5} cu \frac{16}{5} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{64}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Adunați 9 cu \frac{64}{25}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{\frac{289}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru \frac{289}{25}.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu \frac{17}{5}.

$$x=\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Împărțiți \frac{2}{5} la -\frac{2}{5} înmulțind pe \frac{2}{5} cu reciproca lui -\frac{2}{5}.

$$x=-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}} atunci când ± este minus. Scădeți \frac{17}{5} din -3.

$$x=-\frac{\frac{32}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Împărțiți -\frac{32}{5} la -\frac{2}{5} înmulțind pe -\frac{32}{5} cu reciproca lui -\frac{2}{5}.

$$x=16$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1 x=16$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

Scădeți \frac{16}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}-\frac{16}{5}=-\frac{16}{5}$$

Scăderea \frac{16}{5} din el însuși are ca rezultat 0.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x=-\frac{16}{5}$$

Se înmulțesc ambele părți cu -5.

$$\frac{-\frac{1}{5}x^{2}+3x}{-\frac{1}{5}}=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

Împărțirea la -\frac{1}{5} anulează înmulțirea cu -\frac{1}{5}.

$$x^{2}+\frac{3}{-\frac{1}{5}}x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

Împărțiți 3 la -\frac{1}{5} înmulțind pe 3 cu reciproca lui -\frac{1}{5}.

$$x^{2}-15x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

Împărțiți -\frac{16}{5} la -\frac{1}{5} înmulțind pe -\frac{16}{5} cu reciproca lui -\frac{1}{5}.

$$x^{2}-15x=16$$

Împărțiți -15, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{15}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=16+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{15}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=16+\frac{225}{4}$$

Adunați 16 cu \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{289}{4}$$

Factor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{17}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{17}{2}$$

Adunați \frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=16 x=-1$$