Rezolvați -1/3(x+2)(x-1/3)>0

$$- \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) ( x - \frac { 1 } { 3 } ) > 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -\frac{1}{3} cu x+2.

$$\left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} cu x-\frac{1}{3} și a combina termenii similari.

$$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}>0$$

Înmulțiți inegalitatea cu -1 pentru a face pozitiv coeficientul celei mai mari puteri din -\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}. Deoarece -1 este negativ, direcția inegalitatea este modificată.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}<0$$

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu \frac{1}{3}, b cu \frac{5}{9} și c cu -\frac{2}{9}.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\sqrt{\left(\frac{5}{9}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{9}\right)}}{\frac{1}{3}\times 2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, x-\frac{1}{3} și x+2 trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care x-\frac{1}{3} este pozitiv și x+2 este negativ.

$$x-\frac{1}{3}>0 x+2<0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Tratați cazul în care x+2 este pozitiv și x-\frac{1}{3} este negativ.

$$x+2>0 x-\frac{1}{3}<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right).

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$