Rezolvați (76-4x)(10+2x)=1080

$$(76-4x)(10+2x)=1080$$

Rezolvați pentru x

$$x=4$$

$$x=10$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 76-4x cu 10+2x și a combina termenii similari.

$$760+112x-8x^{2}=1080$$

Scădeți 1080 din ambele părți.

$$760+112x-8x^{2}-1080=0$$

Scădeți 1080 din 760 pentru a obține -320.

$$-320+112x-8x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-8x^{2}+112x-320=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -8, b cu 112 și c cu -320 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-112±\sqrt{112^{2}-4\left(-8\right)\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Ridicați 112 la pătrat.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544-4\left(-8\right)\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -8.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544+32\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 32 cu -320.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544-10240}}{2\left(-8\right)}$$

Adunați 12544 cu -10240.

$$x=\frac{-112±\sqrt{2304}}{2\left(-8\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2304.

$$x=\frac{-112±48}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -8.

$$x=\frac{-112±48}{-16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-112±48}{-16} atunci când ± este plus. Adunați -112 cu 48.

$$x=-\frac{64}{-16}$$

Împărțiți -64 la -16.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-112±48}{-16} atunci când ± este minus. Scădeți 48 din -112.

$$x=-\frac{160}{-16}$$

Împărțiți -160 la -16.

$$x=10$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=10$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 76-4x cu 10+2x și a combina termenii similari.

$$760+112x-8x^{2}=1080$$

Scădeți 760 din ambele părți.

$$112x-8x^{2}=1080-760$$

Scădeți 760 din 1080 pentru a obține 320.

$$112x-8x^{2}=320$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+112x=320$$

Se împart ambele părți la -8.

$$\frac{-8x^{2}+112x}{-8}=\frac{320}{-8}$$

Împărțirea la -8 anulează înmulțirea cu -8.

$$x^{2}+\frac{112}{-8}x=\frac{320}{-8}$$

Împărțiți 112 la -8.

$$x^{2}-14x=\frac{320}{-8}$$

Împărțiți 320 la -8.

$$x^{2}-14x=-40$$

Împărțiți -14, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -7. Apoi, adunați pătratul lui -7 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Adunați -40 cu 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Factor x^{2}-14x+49. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplificați.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$x=10 x=4$$