Rezolvați (50+x-40)(500-10x)=8000

$$(50+x-40)(500-10x)=8000$$

Rezolvați pentru x

$$x=10$$

$$x=30$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 40 din 50 pentru a obține 10.

$$\left(10+x\right)\left(500-10x\right)=8000$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 10+x cu 500-10x și a combina termenii similari.

$$5000+400x-10x^{2}=8000$$

Scădeți 8000 din ambele părți.

$$5000+400x-10x^{2}-8000=0$$

Scădeți 8000 din 5000 pentru a obține -3000.

$$-3000+400x-10x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-10x^{2}+400x-3000=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -10, b cu 400 și c cu -3000 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-400±\sqrt{400^{2}-4\left(-10\right)\left(-3000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Ridicați 400 la pătrat.

$$x=\frac{-400±\sqrt{160000-4\left(-10\right)\left(-3000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -10.

$$x=\frac{-400±\sqrt{160000+40\left(-3000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți 40 cu -3000.

$$x=\frac{-400±\sqrt{160000-120000}}{2\left(-10\right)}$$

Adunați 160000 cu -120000.

$$x=\frac{-400±\sqrt{40000}}{2\left(-10\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 40000.

$$x=\frac{-400±200}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -10.

$$x=\frac{-400±200}{-20}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-400±200}{-20} atunci când ± este plus. Adunați -400 cu 200.

$$x=-\frac{200}{-20}$$

Împărțiți -200 la -20.

$$x=10$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-400±200}{-20} atunci când ± este minus. Scădeți 200 din -400.

$$x=-\frac{600}{-20}$$

Împărțiți -600 la -20.

$$x=30$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=10 x=30$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 40 din 50 pentru a obține 10.

$$\left(10+x\right)\left(500-10x\right)=8000$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 10+x cu 500-10x și a combina termenii similari.

$$5000+400x-10x^{2}=8000$$

Scădeți 5000 din ambele părți.

$$400x-10x^{2}=8000-5000$$

Scădeți 5000 din 8000 pentru a obține 3000.

$$400x-10x^{2}=3000$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-10x^{2}+400x=3000$$

Se împart ambele părți la -10.

$$\frac{-10x^{2}+400x}{-10}=\frac{3000}{-10}$$

Împărțirea la -10 anulează înmulțirea cu -10.

$$x^{2}+\frac{400}{-10}x=\frac{3000}{-10}$$

Împărțiți 400 la -10.

$$x^{2}-40x=\frac{3000}{-10}$$

Împărțiți 3000 la -10.

$$x^{2}-40x=-300$$

Împărțiți -40, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -20. Apoi, adunați pătratul lui -20 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-40x+\left(-20\right)^{2}=-300+\left(-20\right)^{2}$$

Ridicați -20 la pătrat.

$$x^{2}-40x+400=-300+400$$

Adunați -300 cu 400.

$$x^{2}-40x+400=100$$

Factor x^{2}-40x+400. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-20\right)^{2}=100$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-20\right)^{2}}=\sqrt{100}$$

Simplificați.

$$x-20=10 x-20=-10$$

Adunați 20 la ambele părți ale ecuației.

$$x=30 x=10$$