Rezolvați (40-x)(20+2x)=200

$$(40-x)(20+2x)=200$$

Rezolvați pentru x

$$x=5\sqrt{21}+15\approx 37,912878475$$

$$x=15-5\sqrt{21}\approx -7,912878475$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 40-x cu 20+2x și a combina termenii similari.

$$800+60x-2x^{2}=200$$

Scădeți 200 din ambele părți.

$$800+60x-2x^{2}-200=0$$

Scădeți 200 din 800 pentru a obține 600.

$$600+60x-2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+60x+600=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 60 și c cu 600 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\left(-2\right)\times 600}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 60 la pătrat.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\left(-2\right)\times 600}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600+8\times 600}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu 600.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600+4800}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 3600 cu 4800.

$$x=\frac{-60±\sqrt{8400}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 8400.

$$x=\frac{-60±20\sqrt{21}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-60±20\sqrt{21}}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-60±20\sqrt{21}}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -60 cu 20\sqrt{21}.

$$x=\frac{20\sqrt{21}-60}{-4}$$

Împărțiți -60+20\sqrt{21} la -4.

$$x=15-5\sqrt{21}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-60±20\sqrt{21}}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 20\sqrt{21} din -60.

$$x=\frac{-20\sqrt{21}-60}{-4}$$

Împărțiți -60-20\sqrt{21} la -4.

$$x=5\sqrt{21}+15$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=15-5\sqrt{21} x=5\sqrt{21}+15$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 40-x cu 20+2x și a combina termenii similari.

$$800+60x-2x^{2}=200$$

Scădeți 800 din ambele părți.

$$60x-2x^{2}=200-800$$

Scădeți 800 din 200 pentru a obține -600.

$$60x-2x^{2}=-600$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+60x=-600$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+60x}{-2}=-\frac{600}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{60}{-2}x=-\frac{600}{-2}$$

Împărțiți 60 la -2.

$$x^{2}-30x=-\frac{600}{-2}$$

Împărțiți -600 la -2.

$$x^{2}-30x=300$$

Împărțiți -30, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -15. Apoi, adunați pătratul lui -15 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-30x+\left(-15\right)^{2}=300+\left(-15\right)^{2}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x^{2}-30x+225=300+225$$

Adunați 300 cu 225.

$$x^{2}-30x+225=525$$

Factor x^{2}-30x+225. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-15\right)^{2}=525$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-15\right)^{2}}=\sqrt{525}$$

Simplificați.

$$x-15=5\sqrt{21} x-15=-5\sqrt{21}$$

Adunați 15 la ambele părți ale ecuației.

$$x=5\sqrt{21}+15 x=15-5\sqrt{21}$$