Rezolvați (100-x)(1300-5x)=32000

$$(100-x)(1300-5x)=32000$$

Rezolvați pentru x

$$x=80\sqrt{2}+180\approx 293,13708499$$

$$x=180-80\sqrt{2}\approx 66,86291501$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 100-x cu 1300-5x și a combina termenii similari.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

Scădeți 32000 din ambele părți.

$$130000-1800x+5x^{2}-32000=0$$

Scădeți 32000 din 130000 pentru a obține 98000.

$$98000-1800x+5x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-1800x+98000=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -1800 și c cu 98000 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{\left(-1800\right)^{2}-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

Ridicați -1800 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-20\times 98000}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 98000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-1960000}}{2\times 5}$$

Adunați 3240000 cu -1960000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{1280000}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1280000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

Opusul lui -1800 este 1800.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10} atunci când ± este plus. Adunați 1800 cu 800\sqrt{2}.

$$x=\frac{800\sqrt{2}+1800}{10}$$

Împărțiți 1800+800\sqrt{2} la 10.

$$x=80\sqrt{2}+180$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 800\sqrt{2} din 1800.

$$x=\frac{1800-800\sqrt{2}}{10}$$

Împărțiți 1800-800\sqrt{2} la 10.

$$x=180-80\sqrt{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 100-x cu 1300-5x și a combina termenii similari.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

Scădeți 130000 din ambele părți.

$$-1800x+5x^{2}=32000-130000$$

Scădeți 130000 din 32000 pentru a obține -98000.

$$-1800x+5x^{2}=-98000$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-1800x=-98000$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-1800x}{5}=-\frac{98000}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{1800}{5}\right)x=-\frac{98000}{5}$$

Împărțiți -1800 la 5.

$$x^{2}-360x=-\frac{98000}{5}$$

Împărțiți -98000 la 5.

$$x^{2}-360x=-19600$$

Împărțiți -360, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -180. Apoi, adunați pătratul lui -180 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-360x+\left(-180\right)^{2}=-19600+\left(-180\right)^{2}$$

Ridicați -180 la pătrat.

$$x^{2}-360x+32400=-19600+32400$$

Adunați -19600 cu 32400.

$$x^{2}-360x+32400=12800$$

Factor x^{2}-360x+32400. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-180\right)^{2}=12800$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-180\right)^{2}}=\sqrt{12800}$$

Simplificați.

$$x-180=80\sqrt{2} x-180=-80\sqrt{2}$$

Adunați 180 la ambele părți ale ecuației.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$