Rezolvați (10+x)(800-20x)=12000

$$(10+x)(800-20x)=12000$$

Rezolvați pentru x

$$x=10$$

$$x=20$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 10+x cu 800-20x și a combina termenii similari.

$$8000+600x-20x^{2}=12000$$

Scădeți 12000 din ambele părți.

$$8000+600x-20x^{2}-12000=0$$

Scădeți 12000 din 8000 pentru a obține -4000.

$$-4000+600x-20x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-20x^{2}+600x-4000=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -20, b cu 600 și c cu -4000 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-600±\sqrt{600^{2}-4\left(-20\right)\left(-4000\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Ridicați 600 la pătrat.

$$x=\frac{-600±\sqrt{360000-4\left(-20\right)\left(-4000\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -20.

$$x=\frac{-600±\sqrt{360000+80\left(-4000\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Înmulțiți 80 cu -4000.

$$x=\frac{-600±\sqrt{360000-320000}}{2\left(-20\right)}$$

Adunați 360000 cu -320000.

$$x=\frac{-600±\sqrt{40000}}{2\left(-20\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 40000.

$$x=\frac{-600±200}{2\left(-20\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -20.

$$x=\frac{-600±200}{-40}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-600±200}{-40} atunci când ± este plus. Adunați -600 cu 200.

$$x=-\frac{400}{-40}$$

Împărțiți -400 la -40.

$$x=10$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-600±200}{-40} atunci când ± este minus. Scădeți 200 din -600.

$$x=-\frac{800}{-40}$$

Împărțiți -800 la -40.

$$x=20$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=10 x=20$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 10+x cu 800-20x și a combina termenii similari.

$$8000+600x-20x^{2}=12000$$

Scădeți 8000 din ambele părți.

$$600x-20x^{2}=12000-8000$$

Scădeți 8000 din 12000 pentru a obține 4000.

$$600x-20x^{2}=4000$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-20x^{2}+600x=4000$$

Se împart ambele părți la -20.

$$\frac{-20x^{2}+600x}{-20}=\frac{4000}{-20}$$

Împărțirea la -20 anulează înmulțirea cu -20.

$$x^{2}+\frac{600}{-20}x=\frac{4000}{-20}$$

Împărțiți 600 la -20.

$$x^{2}-30x=\frac{4000}{-20}$$

Împărțiți 4000 la -20.

$$x^{2}-30x=-200$$

Împărțiți -30, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -15. Apoi, adunați pătratul lui -15 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-30x+\left(-15\right)^{2}=-200+\left(-15\right)^{2}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x^{2}-30x+225=-200+225$$

Adunați -200 cu 225.

$$x^{2}-30x+225=25$$

Factor x^{2}-30x+225. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-15\right)^{2}=25$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-15\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplificați.

$$x-15=5 x-15=-5$$

Adunați 15 la ambele părți ale ecuației.

$$x=20 x=10$$