Rezolvați (1+x)(1+2x)=132

$$(1+x)(1+2x)=132$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{1057} - 3}{4} \approx 7,377884104$$

$$x=\frac{-\sqrt{1057}-3}{4}\approx -8,877884104$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 1+x cu 1+2x și a combina termenii similari.

$$1+3x+2x^{2}=132$$

Scădeți 132 din ambele părți.

$$1+3x+2x^{2}-132=0$$

Scădeți 132 din 1 pentru a obține -131.

$$-131+3x+2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+3x-131=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 3 și c cu -131 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-131\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-131\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-131\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -131.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+1048}}{2\times 2}$$

Adunați 9 cu 1048.

$$x=\frac{-3±\sqrt{1057}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{1057}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{1057}}{4} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu \sqrt{1057}.

$$x=\frac{\sqrt{1057}-3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{1057}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{1057} din -3.

$$x=\frac{-\sqrt{1057}-3}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{1057}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{1057}-3}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 1+x cu 1+2x și a combina termenii similari.

$$1+3x+2x^{2}=132$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$3x+2x^{2}=132-1$$

Scădeți 1 din 132 pentru a obține 131.

$$3x+2x^{2}=131$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x=131$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{131}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{131}{2}$$

Împărțiți \frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{131}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{131}{2}+\frac{9}{16}$$

Adunați \frac{131}{2} cu \frac{9}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{1057}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1057}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1057}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{1057}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{1057}}{4}$$

Scădeți \frac{3}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{1057}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{1057}-3}{4}$$