Rezolvați (1+x/2)(1000-200x)+500(1+x)=14400

$$(1+ \frac{ x }{ 2 } )(1000-200x)+500(1+x)=14400$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=4+\sqrt{113}i\approx 4+10,630145813i$$

$$x=-\sqrt{113}i+4\approx 4-10,630145813i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu 1+\frac{x}{2}.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Exprimați 2\times \frac{x}{2} ca fracție unică.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Reduceți prin eliminare 2 și 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de 2+x la fiecare termen de 1000-200x.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Combinați -400x cu 1000x pentru a obține 600x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 1000 cu 1+x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Adunați 2000 și 1000 pentru a obține 3000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Combinați 600x cu 1000x pentru a obține 1600x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Scădeți 28800 din ambele părți.

$$3000+1600x-200x^{2}-28800=0$$

Scădeți 28800 din 3000 pentru a obține -25800.

$$-25800+1600x-200x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-200x^{2}+1600x-25800=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -200, b cu 1600 și c cu -25800 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{1600^{2}-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Ridicați 1600 la pătrat.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -200.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000+800\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Înmulțiți 800 cu -25800.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-20640000}}{2\left(-200\right)}$$

Adunați 2560000 cu -20640000.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{-18080000}}{2\left(-200\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -18080000.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{2\left(-200\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -200.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400} atunci când ± este plus. Adunați -1600 cu 400i\sqrt{113}.

$$x=\frac{-1600+400\sqrt{113}i}{-400}$$

Împărțiți -1600+400i\sqrt{113} la -400.

$$x=-\sqrt{113}i+4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400} atunci când ± este minus. Scădeți 400i\sqrt{113} din -1600.

$$x=\frac{-400\sqrt{113}i-1600}{-400}$$

Împărțiți -1600-400i\sqrt{113} la -400.

$$x=4+\sqrt{113}i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\sqrt{113}i+4 x=4+\sqrt{113}i$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu 1+\frac{x}{2}.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Exprimați 2\times \frac{x}{2} ca fracție unică.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Reduceți prin eliminare 2 și 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de 2+x la fiecare termen de 1000-200x.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Combinați -400x cu 1000x pentru a obține 600x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 1000 cu 1+x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Adunați 2000 și 1000 pentru a obține 3000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Combinați 600x cu 1000x pentru a obține 1600x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Scădeți 3000 din ambele părți.

$$1600x-200x^{2}=28800-3000$$

Scădeți 3000 din 28800 pentru a obține 25800.

$$1600x-200x^{2}=25800$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-200x^{2}+1600x=25800$$

Se împart ambele părți la -200.

$$\frac{-200x^{2}+1600x}{-200}=\frac{25800}{-200}$$

Împărțirea la -200 anulează înmulțirea cu -200.

$$x^{2}+\frac{1600}{-200}x=\frac{25800}{-200}$$

Împărțiți 1600 la -200.

$$x^{2}-8x=\frac{25800}{-200}$$

Împărțiți 25800 la -200.

$$x^{2}-8x=-129$$

Împărțiți -8, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -4. Apoi, adunați pătratul lui -4 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-129+\left(-4\right)^{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x^{2}-8x+16=-129+16$$

Adunați -129 cu 16.

$$x^{2}-8x+16=-113$$

Factor x^{2}-8x+16. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-113$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-113}$$

Simplificați.

$$x-4=\sqrt{113}i x-4=-\sqrt{113}i$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$x=4+\sqrt{113}i x=-\sqrt{113}i+4$$