Rezolvați (-y^2+3y+5=0)

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

Rezolvați pentru y

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4,192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1,192582404$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 3 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 5.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 9 cu 20.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu \sqrt{29}.

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

Împărțiți -3+\sqrt{29} la -2.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{29} din -3.

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

Împărțiți -3-\sqrt{29} la -2.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-y^{2}+3y=-5$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

Împărțiți 3 la -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

Împărțiți -5 la -1.

$$y^{2}-3y=5$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

Adunați 5 cu \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

Factorul y^{2}-3y+\frac{9}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$