Rezolvați (x-7)^2-8=17

$$( x - 7 ) ^ { 2 } - 8 = 17$$

Rezolvați pentru x

$$x=12$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Scădeți 8 din 49 pentru a obține 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Scădeți 17 din ambele părți.

$$x^{2}-14x+41-17=0$$

Scădeți 17 din 41 pentru a obține 24.

$$x^{2}-14x+24=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-14x+24 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-14 ab=24$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Soluția este perechea care dă suma de -14.

$$a=-12 b=-2$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-12\right)\left(x-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-12=0 și x-2=0.

$$x=12 x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Scădeți 8 din 49 pentru a obține 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Scădeți 17 din ambele părți.

$$x^{2}-14x+41-17=0$$

Scădeți 17 din 41 pentru a obține 24.

$$x^{2}-14x+24=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-14 ab=1\times 24=24$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Soluția este perechea care dă suma de -14.

$$a=-12 b=-2$$

Rescrieți x^{2}-14x+24 ca \left(x^{2}-12x\right)+\left(-2x+24\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(-2x+24\right)$$

Factor x în primul și -2 în al doilea grup.

$$x\left(x-12\right)-2\left(x-12\right)$$

Scoateți termenul comun x-12 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-12\right)\left(x-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-12=0 și x-2=0.

$$x=12 x=2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Scădeți 8 din 49 pentru a obține 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Scădeți 17 din ambele părți.

$$x^{2}-14x+41-17=0$$

Scădeți 17 din 41 pentru a obține 24.

$$x^{2}-14x+24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -14 și c cu 24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 24}}{2}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 24}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 24.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-96}}{2}$$

Adunați 196 cu -96.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{100}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10}{2}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$x=\frac{14±10}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±10}{2} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 10.

$$x=\frac{24}{2}$$

Împărțiți 24 la 2.

$$x=12$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±10}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din 14.

$$x=\frac{4}{2}$$

Împărțiți 4 la 2.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=12 x=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Scădeți 8 din 49 pentru a obține 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Scădeți 41 din ambele părți.

$$x^{2}-14x=17-41$$

Scădeți 41 din 17 pentru a obține -24.

$$x^{2}-14x=-24$$

Împărțiți -14, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -7. Apoi, adunați pătratul lui -7 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Adunați -24 cu 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Factor x^{2}-14x+49. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplificați.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$x=12 x=2$$