Rezolvați (x-4)(3x+6)+(x-4)(12x+48)=0

$$( x - 4 ) ( 3 x + 6 ) + ( x - 4 ) ( 12 x + 48 ) = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{18}{5} = -3\frac{3}{5} = -3,6$$

$$x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 3x+6 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 12x+48 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Combinați 3x^{2} cu 12x^{2} pentru a obține 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Scădeți 192 din -24 pentru a obține -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Se împart ambele părți la 3.

$$5x^{2}-2x-72=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-72. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=5\left(-72\right)=-360$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -360.

$$1,-360 2,-180 3,-120 4,-90 5,-72 6,-60 8,-45 9,-40 10,-36 12,-30 15,-24 18,-20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-360=-359 2-180=-178 3-120=-117 4-90=-86 5-72=-67 6-60=-54 8-45=-37 9-40=-31 10-36=-26 12-30=-18 15-24=-9 18-20=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -2.

$$a=-20 b=18$$

Rescrieți 5x^{2}-2x-72 ca \left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right).

$$\left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right)$$

Factor 5x în primul și 18 în al doilea grup.

$$5x\left(x-4\right)+18\left(x-4\right)$$

Scoateți termenul comun x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-4\right)\left(5x+18\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-4=0 și 5x+18=0.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 3x+6 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 12x+48 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Combinați 3x^{2} cu 12x^{2} pentru a obține 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Scădeți 192 din -24 pentru a obține -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 15, b cu -6 și c cu -216 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -4 cu 15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-60\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -60 cu -216.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+12960}}{2\times 15}$$

Adunați 36 cu 12960.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{12996}}{2\times 15}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 12996.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±114}{2\times 15}$$

Opusul lui -6 este 6.

$$x=\frac{6±114}{2\times 15}$$

Înmulțiți 2 cu 15.

$$x=\frac{6±114}{30}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±114}{30} atunci când ± este plus. Adunați 6 cu 114.

$$x=\frac{120}{30}$$

Împărțiți 120 la 30.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±114}{30} atunci când ± este minus. Scădeți 114 din 6.

$$x=-\frac{108}{30}$$

Reduceți fracția \frac{-108}{30} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{18}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 3x+6 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 12x+48 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Combinați 3x^{2} cu 12x^{2} pentru a obține 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Scădeți 192 din -24 pentru a obține -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Adăugați 216 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$15x^{2}-6x=216$$

Se împart ambele părți la 15.

$$\frac{15x^{2}-6x}{15}=\frac{216}{15}$$

Împărțirea la 15 anulează înmulțirea cu 15.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{15}\right)x=\frac{216}{15}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{15} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{216}{15}$$

Reduceți fracția \frac{216}{15} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{72}{5}$$

Împărțiți -\frac{2}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{72}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{72}{5}+\frac{1}{25}$$

Adunați \frac{72}{5} cu \frac{1}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{361}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{361}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{19}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{19}{5}$$

Adunați \frac{1}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$