Rezolvați (x-4)^2*(x+3)^3*(x-1)=0

$$( x - 4 ) ^ { 2 } \cdot ( x + 3 ) ^ { 3 } \cdot ( x - 1 ) = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=4$$

$$x=1$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-4\right)^{2}.

$$\left(x^{2}-8x+16\right)\left(x+3\right)^{3}\left(x-1\right)=0$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} pentru a extinde \left(x+3\right)^{3}.

$$\left(x^{2}-8x+16\right)\left(x^{3}+9x^{2}+27x+27\right)\left(x-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-8x+16 cu x^{3}+9x^{2}+27x+27 și a combina termenii similari.

$$\left(x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432\right)\left(x-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$x^{6}-30x^{4}-16x^{3}+261x^{2}+216x-432=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -432 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±432,±216,±144,±108,±72,±54,±48,±36,±27,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{6}-30x^{4}-16x^{3}+261x^{2}+216x-432 la x-1 pentru a obține x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 432 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±432,±216,±144,±108,±72,±54,±48,±36,±27,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-3$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432 la x+3 pentru a obține x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 144 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±144,±72,±48,±36,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-3$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144 la x+3 pentru a obține x^{3}-5x^{2}-8x+48. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{3}-5x^{2}-8x+48=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 48 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±48,±24,±16,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-3$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}-5x^{2}-8x+48 la x+3 pentru a obține x^{2}-8x+16. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}-8x+16=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -8 și c cu 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{8±0}{2}$$

Soluțiile sunt la fel.

$$x=4$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=1 x=-3 x=4$$