Rezolvați (x-3)^2=9(3+x)^2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } = 9 ( 3 + x ) ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-6$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9=9\left(3+x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3+x\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9=9\left(9+6x+x^{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 9 cu 9+6x+x^{2}.

$$x^{2}-6x+9=81+54x+9x^{2}$$

Scădeți 81 din ambele părți.

$$x^{2}-6x+9-81=54x+9x^{2}$$

Scădeți 81 din 9 pentru a obține -72.

$$x^{2}-6x-72=54x+9x^{2}$$

Scădeți 54x din ambele părți.

$$x^{2}-6x-72-54x=9x^{2}$$

Combinați -6x cu -54x pentru a obține -60x.

$$x^{2}-60x-72=9x^{2}$$

Scădeți 9x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-60x-72-9x^{2}=0$$

Combinați x^{2} cu -9x^{2} pentru a obține -8x^{2}.

$$-8x^{2}-60x-72=0$$

Se împart ambele părți la 4.

$$-2x^{2}-15x-18=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -2x^{2}+ax+bx-18. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-15 ab=-2\left(-18\right)=36$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Soluția este perechea care dă suma de -15.

$$a=-3 b=-12$$

Rescrieți -2x^{2}-15x-18 ca \left(-2x^{2}-3x\right)+\left(-12x-18\right).

$$\left(-2x^{2}-3x\right)+\left(-12x-18\right)$$

Factor -x în primul și -6 în al doilea grup.

$$-x\left(2x+3\right)-6\left(2x+3\right)$$

Scoateți termenul comun 2x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x+3\right)\left(-x-6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x+3=0 și -x-6=0.

$$x=-\frac{3}{2} x=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9=9\left(3+x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3+x\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9=9\left(9+6x+x^{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 9 cu 9+6x+x^{2}.

$$x^{2}-6x+9=81+54x+9x^{2}$$

Scădeți 81 din ambele părți.

$$x^{2}-6x+9-81=54x+9x^{2}$$

Scădeți 81 din 9 pentru a obține -72.

$$x^{2}-6x-72=54x+9x^{2}$$

Scădeți 54x din ambele părți.

$$x^{2}-6x-72-54x=9x^{2}$$

Combinați -6x cu -54x pentru a obține -60x.

$$x^{2}-60x-72=9x^{2}$$

Scădeți 9x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-60x-72-9x^{2}=0$$

Combinați x^{2} cu -9x^{2} pentru a obține -8x^{2}.

$$-8x^{2}-60x-72=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -8, b cu -60 și c cu -72 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\left(-8\right)\left(-72\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Ridicați -60 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\left(-8\right)\left(-72\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -8.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600+32\left(-72\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 32 cu -72.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-2304}}{2\left(-8\right)}$$

Adunați 3600 cu -2304.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{1296}}{2\left(-8\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1296.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±36}{2\left(-8\right)}$$

Opusul lui -60 este 60.

$$x=\frac{60±36}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -8.

$$x=\frac{60±36}{-16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{60±36}{-16} atunci când ± este plus. Adunați 60 cu 36.

$$x=\frac{96}{-16}$$

Împărțiți 96 la -16.

$$x=-6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{60±36}{-16} atunci când ± este minus. Scădeți 36 din 60.

$$x=\frac{24}{-16}$$

Reduceți fracția \frac{24}{-16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-6 x=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9=9\left(3+x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3+x\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9=9\left(9+6x+x^{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 9 cu 9+6x+x^{2}.

$$x^{2}-6x+9=81+54x+9x^{2}$$

Scădeți 54x din ambele părți.

$$x^{2}-6x+9-54x=81+9x^{2}$$

Combinați -6x cu -54x pentru a obține -60x.

$$x^{2}-60x+9=81+9x^{2}$$

Scădeți 9x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-60x+9-9x^{2}=81$$

Combinați x^{2} cu -9x^{2} pentru a obține -8x^{2}.

$$-8x^{2}-60x+9=81$$

Scădeți 9 din ambele părți.

$$-8x^{2}-60x=81-9$$

Scădeți 9 din 81 pentru a obține 72.

$$-8x^{2}-60x=72$$

Se împart ambele părți la -8.

$$\frac{-8x^{2}-60x}{-8}=\frac{72}{-8}$$

Împărțirea la -8 anulează înmulțirea cu -8.

$$x^{2}+\left(-\frac{60}{-8}\right)x=\frac{72}{-8}$$

Reduceți fracția \frac{-60}{-8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}+\frac{15}{2}x=\frac{72}{-8}$$

Împărțiți 72 la -8.

$$x^{2}+\frac{15}{2}x=-9$$

Împărțiți \frac{15}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{15}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{15}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{15}{2}x+\left(\frac{15}{4}\right)^{2}=-9+\left(\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{15}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=-9+\frac{225}{16}$$

Adunați -9 cu \frac{225}{16}.

$$x^{2}+\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{81}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{15}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{15}{4}=-\frac{9}{4}$$

Scădeți \frac{15}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{3}{2} x=-6$$