Rezolvați (x-3)^2=x/4

$$( x - 3 ) ^ { 2 } = \frac { x } { 4 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=4$$

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2,25$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4.

$$4\left(x-3\right)^{2}=x$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}-6x+9\right)=x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x^{2}-6x+9.

$$4x^{2}-24x+36=x$$

Scădeți x din ambele părți.

$$4x^{2}-24x+36-x=0$$

Combinați -24x cu -x pentru a obține -25x.

$$4x^{2}-25x+36=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx+36. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-25 ab=4\times 36=144$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Soluția este perechea care dă suma de -25.

$$a=-16 b=-9$$

Rescrieți 4x^{2}-25x+36 ca \left(4x^{2}-16x\right)+\left(-9x+36\right).

$$\left(4x^{2}-16x\right)+\left(-9x+36\right)$$

Factor 4x în primul și -9 în al doilea grup.

$$4x\left(x-4\right)-9\left(x-4\right)$$

Scoateți termenul comun x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-4\right)\left(4x-9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-4=0 și 4x-9=0.

$$x=4 x=\frac{9}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4.

$$4\left(x-3\right)^{2}=x$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}-6x+9\right)=x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x^{2}-6x+9.

$$4x^{2}-24x+36=x$$

Scădeți x din ambele părți.

$$4x^{2}-24x+36-x=0$$

Combinați -24x cu -x pentru a obține -25x.

$$4x^{2}-25x+36=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -25 și c cu 36 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 4\times 36}}{2\times 4}$$

Ridicați -25 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 4\times 36}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-16\times 36}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 36.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-576}}{2\times 4}$$

Adunați 625 cu -576.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±7}{2\times 4}$$

Opusul lui -25 este 25.

$$x=\frac{25±7}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{25±7}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{25±7}{8} atunci când ± este plus. Adunați 25 cu 7.

$$x=\frac{32}{8}$$

Împărțiți 32 la 8.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{25±7}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 25.

$$x=\frac{18}{8}$$

Reduceți fracția \frac{18}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{9}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=\frac{9}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4.

$$4\left(x-3\right)^{2}=x$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}-6x+9\right)=x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x^{2}-6x+9.

$$4x^{2}-24x+36=x$$

Scădeți x din ambele părți.

$$4x^{2}-24x+36-x=0$$

Combinați -24x cu -x pentru a obține -25x.

$$4x^{2}-25x+36=0$$

Scădeți 36 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$4x^{2}-25x=-36$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-25x}{4}=-\frac{36}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}-\frac{25}{4}x=-\frac{36}{4}$$

Împărțiți -36 la 4.

$$x^{2}-\frac{25}{4}x=-9$$

Împărțiți -\frac{25}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{25}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{25}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{25}{4}x+\left(-\frac{25}{8}\right)^{2}=-9+\left(-\frac{25}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{25}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{25}{4}x+\frac{625}{64}=-9+\frac{625}{64}$$

Adunați -9 cu \frac{625}{64}.

$$x^{2}-\frac{25}{4}x+\frac{625}{64}=\frac{49}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{25}{4}x+\frac{625}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{25}{8}=\frac{7}{8} x-\frac{25}{8}=-\frac{7}{8}$$

Adunați \frac{25}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=\frac{9}{4}$$