Rezolvați (x-3)^2+(x+4)^2=16

$$( x - 3 ) ^ { 2 } + ( x + 4 ) ^ { 2 } = 16$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}\approx -0,5+2,061552813i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}\approx -0,5-2,061552813i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

Combinați -6x cu 8x pentru a obține 2x.

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

Adunați 9 și 16 pentru a obține 25.

$$2x^{2}+2x+25=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$2x^{2}+2x+25-16=0$$

Scădeți 16 din 25 pentru a obține 9.

$$2x^{2}+2x+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 2 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\times 9}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 2}$$

Adunați 4 cu -72.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -68.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2i\sqrt{17}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{4}$$

Împărțiți -2+2i\sqrt{17} la 4.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{17} din -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{4}$$

Împărțiți -2-2i\sqrt{17} la 4.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

Combinați -6x cu 8x pentru a obține 2x.

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

Adunați 9 și 16 pentru a obține 25.

$$2x^{2}+2x+25=16$$

Scădeți 25 din ambele părți.

$$2x^{2}+2x=16-25$$

Scădeți 25 din 16 pentru a obține -9.

$$2x^{2}+2x=-9$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{9}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{9}{2}$$

Împărțiți 2 la 2.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{2}$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{2}+\frac{1}{4}$$

Adunați -\frac{9}{2} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}i}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$