Rezolvați (x-20)(7500+100x/x)=7500

$$( x - 20 ) ( \frac { 7500 + 100 x } { x } ) = 7500$$

Rezolvați pentru x

$$x=-30$$

$$x=50$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x.

$$\left(x-20\right)\left(7500+100x\right)=7500x$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de x-20 la fiecare termen de 7500+100x.

$$7500x+100x^{2}-150000-2000x=7500x$$

Combinați 7500x cu -2000x pentru a obține 5500x.

$$5500x+100x^{2}-150000=7500x$$

Scădeți 7500x din ambele părți.

$$5500x+100x^{2}-150000-7500x=0$$

Combinați 5500x cu -7500x pentru a obține -2000x.

$$-2000x+100x^{2}-150000=0$$

Se împart ambele părți la 100.

$$-20x+x^{2}-1500=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}-20x-1500=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-1500. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-20 ab=1\left(-1500\right)=-1500$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -1500.

$$1,-1500 2,-750 3,-500 4,-375 5,-300 6,-250 10,-150 12,-125 15,-100 20,-75 25,-60 30,-50$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-1500=-1499 2-750=-748 3-500=-497 4-375=-371 5-300=-295 6-250=-244 10-150=-140 12-125=-113 15-100=-85 20-75=-55 25-60=-35 30-50=-20$$

Soluția este perechea care dă suma de -20.

$$a=-50 b=30$$

Rescrieți x^{2}-20x-1500 ca \left(x^{2}-50x\right)+\left(30x-1500\right).

$$\left(x^{2}-50x\right)+\left(30x-1500\right)$$

Factor x în primul și 30 în al doilea grup.

$$x\left(x-50\right)+30\left(x-50\right)$$

Scoateți termenul comun x-50 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-50\right)\left(x+30\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-50=0 și x+30=0.

$$x=50 x=-30$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x.

$$\left(x-20\right)\left(7500+100x\right)=7500x$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de x-20 la fiecare termen de 7500+100x.

$$7500x+100x^{2}-150000-2000x=7500x$$

Combinați 7500x cu -2000x pentru a obține 5500x.

$$5500x+100x^{2}-150000=7500x$$

Scădeți 7500x din ambele părți.

$$5500x+100x^{2}-150000-7500x=0$$

Combinați 5500x cu -7500x pentru a obține -2000x.

$$-2000x+100x^{2}-150000=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$100x^{2}-2000x-150000=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 100, b cu -2000 și c cu -150000 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2000\right)±\sqrt{\left(-2000\right)^{2}-4\times 100\left(-150000\right)}}{2\times 100}$$

Ridicați -2000 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2000\right)±\sqrt{4000000-4\times 100\left(-150000\right)}}{2\times 100}$$

Înmulțiți -4 cu 100.

$$x=\frac{-\left(-2000\right)±\sqrt{4000000-400\left(-150000\right)}}{2\times 100}$$

Înmulțiți -400 cu -150000.

$$x=\frac{-\left(-2000\right)±\sqrt{4000000+60000000}}{2\times 100}$$

Adunați 4000000 cu 60000000.

$$x=\frac{-\left(-2000\right)±\sqrt{64000000}}{2\times 100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64000000.

$$x=\frac{-\left(-2000\right)±8000}{2\times 100}$$

Opusul lui -2000 este 2000.

$$x=\frac{2000±8000}{2\times 100}$$

Înmulțiți 2 cu 100.

$$x=\frac{2000±8000}{200}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2000±8000}{200} atunci când ± este plus. Adunați 2000 cu 8000.

$$x=\frac{10000}{200}$$

Împărțiți 10000 la 200.

$$x=50$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2000±8000}{200} atunci când ± este minus. Scădeți 8000 din 2000.

$$x=-\frac{6000}{200}$$

Împărțiți -6000 la 200.

$$x=-30$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=50 x=-30$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x.

$$\left(x-20\right)\left(7500+100x\right)=7500x$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de x-20 la fiecare termen de 7500+100x.

$$7500x+100x^{2}-150000-2000x=7500x$$

Combinați 7500x cu -2000x pentru a obține 5500x.

$$5500x+100x^{2}-150000=7500x$$

Scădeți 7500x din ambele părți.

$$5500x+100x^{2}-150000-7500x=0$$

Combinați 5500x cu -7500x pentru a obține -2000x.

$$-2000x+100x^{2}-150000=0$$

Adăugați 150000 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$-2000x+100x^{2}=150000$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$100x^{2}-2000x=150000$$

Se împart ambele părți la 100.

$$\frac{100x^{2}-2000x}{100}=\frac{150000}{100}$$

Împărțirea la 100 anulează înmulțirea cu 100.

$$x^{2}+\left(-\frac{2000}{100}\right)x=\frac{150000}{100}$$

Împărțiți -2000 la 100.

$$x^{2}-20x=\frac{150000}{100}$$

Împărțiți 150000 la 100.

$$x^{2}-20x=1500$$

Împărțiți -20, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -10. Apoi, adunați pătratul lui -10 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-20x+\left(-10\right)^{2}=1500+\left(-10\right)^{2}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$x^{2}-20x+100=1500+100$$

Adunați 1500 cu 100.

$$x^{2}-20x+100=1600$$

Factor x^{2}-20x+100. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-10\right)^{2}=1600$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-10\right)^{2}}=\sqrt{1600}$$

Simplificați.

$$x-10=40 x-10=-40$$

Adunați 10 la ambele părți ale ecuației.

$$x=50 x=-30$$