Rezolvați (x-2)^2geq7

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

Rezolvați pentru x

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

Pașii soluției

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -4 și c cu -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

Pentru ca produsul să fie ≥0, x-\left(\sqrt{7}+2\right) și x-\left(2-\sqrt{7}\right) trebuie să fie ambele fie ≤0, fie ≥0. Tratați cazul în care atât x-\left(\sqrt{7}+2\right), cât și x-\left(2-\sqrt{7}\right) sunt ≤0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

Tratați cazul în care atât x-\left(\sqrt{7}+2\right), cât și x-\left(2-\sqrt{7}\right) sunt ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$