Rezolvați (x-2)^2+[(-1/3x+6)-2]^2=10

$$( x - 2 ) ^ { 2 } + [ ( - \frac { 1 } { 3 } x + 6 ) - 2 ] ^ { 2 } = 10$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4+\left(-\frac{1}{3}x+6-2\right)^{2}=10$$

Scădeți 2 din 6 pentru a obține 4.

$$x^{2}-4x+4+\left(-\frac{1}{3}x+4\right)^{2}=10$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-\frac{1}{3}x+4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4+\frac{1}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+16=10$$

Combinați x^{2} cu \frac{1}{9}x^{2} pentru a obține \frac{10}{9}x^{2}.

$$\frac{10}{9}x^{2}-4x+4-\frac{8}{3}x+16=10$$

Combinați -4x cu -\frac{8}{3}x pentru a obține -\frac{20}{3}x.

$$\frac{10}{9}x^{2}-\frac{20}{3}x+4+16=10$$

Adunați 4 și 16 pentru a obține 20.

$$\frac{10}{9}x^{2}-\frac{20}{3}x+20=10$$

Scădeți 10 din ambele părți.

$$\frac{10}{9}x^{2}-\frac{20}{3}x+20-10=0$$

Scădeți 10 din 20 pentru a obține 10.

$$\frac{10}{9}x^{2}-\frac{20}{3}x+10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu \frac{10}{9}, b cu -\frac{20}{3} și c cu 10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{20}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}-4\times \frac{10}{9}\times 10}}{2\times \frac{10}{9}}$$

Ridicați -\frac{20}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x=\frac{-\left(-\frac{20}{3}\right)±\sqrt{\frac{400}{9}-4\times \frac{10}{9}\times 10}}{2\times \frac{10}{9}}$$

Înmulțiți -4 cu \frac{10}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{20}{3}\right)±\sqrt{\frac{400}{9}-\frac{40}{9}\times 10}}{2\times \frac{10}{9}}$$

Înmulțiți -\frac{40}{9} cu 10.

$$x=\frac{-\left(-\frac{20}{3}\right)±\sqrt{\frac{400-400}{9}}}{2\times \frac{10}{9}}$$

Adunați \frac{400}{9} cu -\frac{400}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{-\left(-\frac{20}{3}\right)±\sqrt{0}}{2\times \frac{10}{9}}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-\frac{20}{3}}{2\times \frac{10}{9}}$$

Opusul lui -\frac{20}{3} este \frac{20}{3}.

$$x=\frac{\frac{20}{3}}{2\times \frac{10}{9}}$$

Înmulțiți 2 cu \frac{10}{9}.

$$x=\frac{\frac{20}{3}}{\frac{20}{9}}$$

Împărțiți \frac{20}{3} la \frac{20}{9} înmulțind pe \frac{20}{3} cu reciproca lui \frac{20}{9}.

$$x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4+\left(-\frac{1}{3}x+6-2\right)^{2}=10$$

Scădeți 2 din 6 pentru a obține 4.

$$x^{2}-4x+4+\left(-\frac{1}{3}x+4\right)^{2}=10$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-\frac{1}{3}x+4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4+\frac{1}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+16=10$$

Combinați x^{2} cu \frac{1}{9}x^{2} pentru a obține \frac{10}{9}x^{2}.

$$\frac{10}{9}x^{2}-4x+4-\frac{8}{3}x+16=10$$

Combinați -4x cu -\frac{8}{3}x pentru a obține -\frac{20}{3}x.

$$\frac{10}{9}x^{2}-\frac{20}{3}x+4+16=10$$

Adunați 4 și 16 pentru a obține 20.

$$\frac{10}{9}x^{2}-\frac{20}{3}x+20=10$$

Scădeți 20 din ambele părți.

$$\frac{10}{9}x^{2}-\frac{20}{3}x=10-20$$

Scădeți 20 din 10 pentru a obține -10.

$$\frac{10}{9}x^{2}-\frac{20}{3}x=-10$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{10}{9}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$\frac{\frac{10}{9}x^{2}-\frac{20}{3}x}{\frac{10}{9}}=-\frac{10}{\frac{10}{9}}$$

Împărțirea la \frac{10}{9} anulează înmulțirea cu \frac{10}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{20}{3}}{\frac{10}{9}}\right)x=-\frac{10}{\frac{10}{9}}$$

Împărțiți -\frac{20}{3} la \frac{10}{9} înmulțind pe -\frac{20}{3} cu reciproca lui \frac{10}{9}.

$$x^{2}-6x=-\frac{10}{\frac{10}{9}}$$

Împărțiți -10 la \frac{10}{9} înmulțind pe -10 cu reciproca lui \frac{10}{9}.

$$x^{2}-6x=-9$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Adunați -9 cu 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Factor x^{2}-6x+9. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-3=0 x-3=0$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=3$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=3$$