Rezolvați (x-100)[300+5(200-x)]=3200

$$( x - 100 ) [ 300 + 5 ( 200 - x ) ] = 3200$$

Rezolvați pentru x

$$x=24\sqrt{10}+180\approx 255,894663844$$

$$x=180-24\sqrt{10}\approx 104,105336156$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu 200-x.

$$\left(x-100\right)\left(300+1000-5x\right)=3200$$

Adunați 300 și 1000 pentru a obține 1300.

$$\left(x-100\right)\left(1300-5x\right)=3200$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de x-100 la fiecare termen de 1300-5x.

$$1300x-5x^{2}-130000+500x=3200$$

Combinați 1300x cu 500x pentru a obține 1800x.

$$1800x-5x^{2}-130000=3200$$

Scădeți 3200 din ambele părți.

$$1800x-5x^{2}-130000-3200=0$$

Scădeți 3200 din -130000 pentru a obține -133200.

$$1800x-5x^{2}-133200=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-5x^{2}+1800x-133200=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -5, b cu 1800 și c cu -133200 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1800±\sqrt{1800^{2}-4\left(-5\right)\left(-133200\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Ridicați 1800 la pătrat.

$$x=\frac{-1800±\sqrt{3240000-4\left(-5\right)\left(-133200\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -5.

$$x=\frac{-1800±\sqrt{3240000+20\left(-133200\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 20 cu -133200.

$$x=\frac{-1800±\sqrt{3240000-2664000}}{2\left(-5\right)}$$

Adunați 3240000 cu -2664000.

$$x=\frac{-1800±\sqrt{576000}}{2\left(-5\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 576000.

$$x=\frac{-1800±240\sqrt{10}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -5.

$$x=\frac{-1800±240\sqrt{10}}{-10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1800±240\sqrt{10}}{-10} atunci când ± este plus. Adunați -1800 cu 240\sqrt{10}.

$$x=\frac{240\sqrt{10}-1800}{-10}$$

Împărțiți -1800+240\sqrt{10} la -10.

$$x=180-24\sqrt{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1800±240\sqrt{10}}{-10} atunci când ± este minus. Scădeți 240\sqrt{10} din -1800.

$$x=\frac{-240\sqrt{10}-1800}{-10}$$

Împărțiți -1800-240\sqrt{10} la -10.

$$x=24\sqrt{10}+180$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=180-24\sqrt{10} x=24\sqrt{10}+180$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu 200-x.

$$\left(x-100\right)\left(300+1000-5x\right)=3200$$

Adunați 300 și 1000 pentru a obține 1300.

$$\left(x-100\right)\left(1300-5x\right)=3200$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de x-100 la fiecare termen de 1300-5x.

$$1300x-5x^{2}-130000+500x=3200$$

Combinați 1300x cu 500x pentru a obține 1800x.

$$1800x-5x^{2}-130000=3200$$

Adăugați 130000 la ambele părți.

$$1800x-5x^{2}=3200+130000$$

Adunați 3200 și 130000 pentru a obține 133200.

$$1800x-5x^{2}=133200$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+1800x=133200$$

Se împart ambele părți la -5.

$$\frac{-5x^{2}+1800x}{-5}=\frac{133200}{-5}$$

Împărțirea la -5 anulează înmulțirea cu -5.

$$x^{2}+\frac{1800}{-5}x=\frac{133200}{-5}$$

Împărțiți 1800 la -5.

$$x^{2}-360x=\frac{133200}{-5}$$

Împărțiți 133200 la -5.

$$x^{2}-360x=-26640$$

Împărțiți -360, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -180. Apoi, adunați pătratul lui -180 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-360x+\left(-180\right)^{2}=-26640+\left(-180\right)^{2}$$

Ridicați -180 la pătrat.

$$x^{2}-360x+32400=-26640+32400$$

Adunați -26640 cu 32400.

$$x^{2}-360x+32400=5760$$

Factor x^{2}-360x+32400. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-180\right)^{2}=5760$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-180\right)^{2}}=\sqrt{5760}$$

Simplificați.

$$x-180=24\sqrt{10} x-180=-24\sqrt{10}$$

Adunați 180 la ambele părți ale ecuației.

$$x=24\sqrt{10}+180 x=180-24\sqrt{10}$$