Rezolvați (x-1)(x+2)-(2x-3)(x+4)-x+14=0

$$( x - 1 ) ( x + 2 ) - ( 2 x - 3 ) ( x + 4 ) - x + 14 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-8$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-3 cu x+4 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

Pentru a găsi opusul lui 2x^{2}+5x-12, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

Combinați x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

Combinați x cu -5x pentru a obține -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

Adunați -2 și 12 pentru a obține 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

Combinați -4x cu -x pentru a obține -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

Adunați 10 și 14 pentru a obține 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=-24=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=3 b=-8$$

Rescrieți -x^{2}-5x+24 ca \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-8x+24\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-8x+24\right)$$

Factor x în primul și 8 în al doilea grup.

$$x\left(-x+3\right)+8\left(-x+3\right)$$

Scoateți termenul comun -x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+3\right)\left(x+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+3=0 și x+8=0.

$$x=3 x=-8$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-3 cu x+4 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

Pentru a găsi opusul lui 2x^{2}+5x-12, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

Combinați x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

Combinați x cu -5x pentru a obține -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

Adunați -2 și 12 pentru a obține 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

Combinați -4x cu -x pentru a obține -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

Adunați 10 și 14 pentru a obține 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -5 și c cu 24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 25 cu 96.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±11}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{5±11}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±11}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 11.

$$x=\frac{16}{-2}$$

Împărțiți 16 la -2.

$$x=-8$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±11}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din 5.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Împărțiți -6 la -2.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-8 x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-3 cu x+4 și a combina termenii similari.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

Pentru a găsi opusul lui 2x^{2}+5x-12, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

Combinați x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

Combinați x cu -5x pentru a obține -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

Adunați -2 și 12 pentru a obține 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

Combinați -4x cu -x pentru a obține -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

Adunați 10 și 14 pentru a obține 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

Scădeți 24 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-x^{2}-5x=-24$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-1}\right)x=-\frac{24}{-1}$$

Împărțiți -5 la -1.

$$x^{2}+5x=-\frac{24}{-1}$$

Împărțiți -24 la -1.

$$x^{2}+5x=24$$

Împărțiți 5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Adunați 24 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Scădeți \frac{5}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-8$$