Rezolvați (x-1)^3=-27

$$( x - 1 ) ^ { 3 } = - 27$$

Rezolvați pentru x

$$x=-2$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} pentru a extinde \left(x-1\right)^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=-27$$

Adăugați 27 la ambele părți.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1+27=0$$

Adunați -1 și 27 pentru a obține 26.

$$x^{3}-3x^{2}+3x+26=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 26 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±26,±13,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}-3x^{2}+3x+26 la x+2 pentru a obține x^{2}-5x+13. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}-5x+13=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -5 și c cu 13.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{5±\sqrt{-27}}{2}$$

Pentru că rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită în câmpul real, nu există soluții.

$$x\in \emptyset$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=-2$$