Rezolvați (x-1)^3=54/2

$$( x - 1 ) ^ { 3 } = \frac { 54 } { 2 }$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=4$$

$$x=\frac{-1+3\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+2,598076211i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-2,598076211i$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} pentru a extinde \left(x-1\right)^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=\frac{54}{2}$$

Împărțiți 54 la 2 pentru a obține 27.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=27$$

Scădeți 27 din ambele părți.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-27=0$$

Scădeți 27 din -1 pentru a obține -28.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-28=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -28 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±28,±14,±7,±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=4$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}-3x^{2}+3x-28 la x-4 pentru a obține x^{2}+x+7. Rezolvați ecuația în care rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}+x+7=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 1 și c cu 7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-27}}{2}$$

Rezolvați ecuația x^{2}+x+7=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{-3i\sqrt{3}-1}{2} x=\frac{-1+3i\sqrt{3}}{2}$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=4 x=\frac{-3i\sqrt{3}-1}{2} x=\frac{-1+3i\sqrt{3}}{2}$$

Rezolvați pentru x

$$x=4$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} pentru a extinde \left(x-1\right)^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=\frac{54}{2}$$

Împărțiți 54 la 2 pentru a obține 27.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=27$$

Scădeți 27 din ambele părți.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-27=0$$

Scădeți 27 din -1 pentru a obține -28.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-28=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -28 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±28,±14,±7,±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=4$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}-3x^{2}+3x-28 la x-4 pentru a obține x^{2}+x+7. Rezolvați ecuația în care rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}+x+7=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 1 și c cu 7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-27}}{2}$$

Pentru că rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită în câmpul real, nu există soluții.

$$x\in \emptyset$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=4$$