Rezolvați (x-1)^2=4x(x-1)

$$( x - 1 ) ^ { 2 } = 4 x ( x - 1 )$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x cu x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Combinați x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Adăugați 4x la ambele părți.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Combinați -2x cu 4x pentru a obține 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3x^{2}+ax+bx+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=3 b=-1$$

Rescrieți -3x^{2}+2x+1 ca \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right)$$

Scoateți factorul comun 3x din -3x^{2}+3x.

$$3x\left(-x+1\right)-x+1$$

Scoateți termenul comun -x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+1=0 și 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x cu x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Combinați x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Adăugați 4x la ambele părți.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Combinați -2x cu 4x pentru a obține 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 2 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 4 cu 12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{16}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-2±4}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-2±4}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±4}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 4.

$$x=\frac{2}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{2}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±4}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din -2.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Împărțiți -6 la -6.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{3} x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x cu x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Combinați x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Adăugați 4x la ambele părți.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Combinați -2x cu 4x pentru a obține 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-3x^{2}+2x=-1$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{1}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{1}{-3}$$

Împărțiți 2 la -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{-3}$$

Împărțiți -1 la -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Împărțiți -\frac{2}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Adunați \frac{1}{3} cu \frac{1}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Adunați \frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$