Rezolvați (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Combinați x^{2} cu 4x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Combinați -2x cu 8x pentru a obține 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Adunați 1 și 4 pentru a obține 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Scădeți 16 din 5 pentru a obține -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-11. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -55.

$$-1,55 -5,11$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

Soluția este perechea care dă suma de 6.

$$a=-5 b=11$$

Rescrieți 5x^{2}+6x-11 ca \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Factor 5x în primul și 11 în al doilea grup.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 5x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Combinați x^{2} cu 4x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Combinați -2x cu 8x pentru a obține 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Adunați 1 și 4 pentru a obține 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Scădeți 16 din 5 pentru a obține -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 6 și c cu -11 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Adunați 36 cu 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±16}{10} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Împărțiți 10 la 10.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±16}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-22}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Combinați x^{2} cu 4x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Combinați -2x cu 8x pentru a obține 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Adunați 1 și 4 pentru a obține 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Scădeți 5 din 16 pentru a obține 11.

$$5x^{2}+6x=11$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Împărțiți \frac{6}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Adunați \frac{11}{5} cu \frac{9}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Factor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Scădeți \frac{3}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$