Rezolvați (x)=-1/2x^2+21x^2-7x+100

$$( x ) = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 21 x ^ { 2 } - 7 x + 100$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41}\approx 0,195121951+2,199994592i$$

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41}\approx 0,195121951-2,199994592i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Combinați -\frac{1}{2}x^{2} cu 21x^{2} pentru a obține \frac{41}{2}x^{2}.

$$x=\frac{41}{2}x^{2}-7x+100$$

Scădeți \frac{41}{2}x^{2} din ambele părți.

$$x-\frac{41}{2}x^{2}=-7x+100$$

Adăugați 7x la ambele părți.

$$x-\frac{41}{2}x^{2}+7x=100$$

Combinați x cu 7x pentru a obține 8x.

$$8x-\frac{41}{2}x^{2}=100$$

Scădeți 100 din ambele părți.

$$8x-\frac{41}{2}x^{2}-100=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-\frac{41}{2}x^{2}+8x-100=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -\frac{41}{2}, b cu 8 și c cu -100 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-\frac{41}{2}\right)\left(-100\right)}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-\frac{41}{2}\right)\left(-100\right)}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -\frac{41}{2}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+82\left(-100\right)}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Înmulțiți 82 cu -100.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-8200}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Adunați 64 cu -8200.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-8136}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -8136.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -\frac{41}{2}.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{-41}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{-41} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 6i\sqrt{226}.

$$x=\frac{-8+6\sqrt{226}i}{-41}$$

Împărțiți -8+6i\sqrt{226} la -41.

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{-41} atunci când ± este minus. Scădeți 6i\sqrt{226} din -8.

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i-8}{-41}$$

Împărțiți -8-6i\sqrt{226} la -41.

$$x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41} x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41}$$

Pași pentru completarea pătratului

Combinați -\frac{1}{2}x^{2} cu 21x^{2} pentru a obține \frac{41}{2}x^{2}.

$$x=\frac{41}{2}x^{2}-7x+100$$

Scădeți \frac{41}{2}x^{2} din ambele părți.

$$x-\frac{41}{2}x^{2}=-7x+100$$

Adăugați 7x la ambele părți.

$$x-\frac{41}{2}x^{2}+7x=100$$

Combinați x cu 7x pentru a obține 8x.

$$8x-\frac{41}{2}x^{2}=100$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-\frac{41}{2}x^{2}+8x=100$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la -\frac{41}{2}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$\frac{-\frac{41}{2}x^{2}+8x}{-\frac{41}{2}}=\frac{100}{-\frac{41}{2}}$$

Împărțirea la -\frac{41}{2} anulează înmulțirea cu -\frac{41}{2}.

$$x^{2}+\frac{8}{-\frac{41}{2}}x=\frac{100}{-\frac{41}{2}}$$

Împărțiți 8 la -\frac{41}{2} înmulțind pe 8 cu reciproca lui -\frac{41}{2}.

$$x^{2}-\frac{16}{41}x=\frac{100}{-\frac{41}{2}}$$

Împărțiți 100 la -\frac{41}{2} înmulțind pe 100 cu reciproca lui -\frac{41}{2}.

$$x^{2}-\frac{16}{41}x=-\frac{200}{41}$$

Împărțiți -\frac{16}{41}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{8}{41}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{8}{41} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{16}{41}x+\left(-\frac{8}{41}\right)^{2}=-\frac{200}{41}+\left(-\frac{8}{41}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{8}{41} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{16}{41}x+\frac{64}{1681}=-\frac{200}{41}+\frac{64}{1681}$$

Adunați -\frac{200}{41} cu \frac{64}{1681} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{16}{41}x+\frac{64}{1681}=-\frac{8136}{1681}$$

Factor x^{2}-\frac{16}{41}x+\frac{64}{1681}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{41}\right)^{2}=-\frac{8136}{1681}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{41}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8136}{1681}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{8}{41}=\frac{6\sqrt{226}i}{41} x-\frac{8}{41}=-\frac{6\sqrt{226}i}{41}$$

Adunați \frac{8}{41} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41} x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41}$$