Rezolvați (x+5)(2x+7)-(x+5)(x-3)=0

$$( x + 5 ) ( 2 x + 7 ) - ( x + 5 ) ( x - 3 ) = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-10$$

$$x=-5$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu 2x+7 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu x-3 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x^{2}+2x-15\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+2x-15, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x^{2}+17x+35-x^{2}-2x+15=0$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+17x+35-2x+15=0$$

Combinați 17x cu -2x pentru a obține 15x.

$$x^{2}+15x+35+15=0$$

Adunați 35 și 15 pentru a obține 50.

$$x^{2}+15x+50=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+15x+50 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=15 ab=50$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 50.

$$1,50 2,25 5,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+50=51 2+25=27 5+10=15$$

Soluția este perechea care dă suma de 15.

$$a=5 b=10$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x+5\right)\left(x+10\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+5=0 și x+10=0.

$$x=-5 x=-10$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu 2x+7 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu x-3 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x^{2}+2x-15\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+2x-15, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x^{2}+17x+35-x^{2}-2x+15=0$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+17x+35-2x+15=0$$

Combinați 17x cu -2x pentru a obține 15x.

$$x^{2}+15x+35+15=0$$

Adunați 35 și 15 pentru a obține 50.

$$x^{2}+15x+50=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+50. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=15 ab=1\times 50=50$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 50.

$$1,50 2,25 5,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+50=51 2+25=27 5+10=15$$

Soluția este perechea care dă suma de 15.

$$a=5 b=10$$

Rescrieți x^{2}+15x+50 ca \left(x^{2}+5x\right)+\left(10x+50\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(10x+50\right)$$

Factor x în primul și 10 în al doilea grup.

$$x\left(x+5\right)+10\left(x+5\right)$$

Scoateți termenul comun x+5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+5\right)\left(x+10\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+5=0 și x+10=0.

$$x=-5 x=-10$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu 2x+7 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu x-3 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x^{2}+2x-15\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+2x-15, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x^{2}+17x+35-x^{2}-2x+15=0$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+17x+35-2x+15=0$$

Combinați 17x cu -2x pentru a obține 15x.

$$x^{2}+15x+35+15=0$$

Adunați 35 și 15 pentru a obține 50.

$$x^{2}+15x+50=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 15 și c cu 50 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 50}}{2}$$

Ridicați 15 la pătrat.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 50}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 50.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-200}}{2}$$

Adunați 225 cu -200.

$$x=\frac{-15±\sqrt{25}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-15±5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-15±5}{2} atunci când ± este plus. Adunați -15 cu 5.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Împărțiți -10 la 2.

$$x=-5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-15±5}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din -15.

$$x=-\frac{20}{2}$$

Împărțiți -20 la 2.

$$x=-10$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-5 x=-10$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu 2x+7 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu x-3 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x^{2}+2x-15\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+2x-15, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x^{2}+17x+35-x^{2}-2x+15=0$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+17x+35-2x+15=0$$

Combinați 17x cu -2x pentru a obține 15x.

$$x^{2}+15x+35+15=0$$

Adunați 35 și 15 pentru a obține 50.

$$x^{2}+15x+50=0$$

Scădeți 50 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$x^{2}+15x=-50$$

Împărțiți 15, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{15}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=-50+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{15}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=-50+\frac{225}{4}$$

Adunați -50 cu \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor x^{2}+15x+\frac{225}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{5}{2}$$

Scădeți \frac{15}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-5 x=-10$$