Rezolvați (x+4)^2=20x-16

$$( x + 4 ) ^ { 2 } = 20 x - 16$$

Rezolvați pentru x

$$x=4$$

$$x=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{2}+8x+16=20x-16$$

Scădeți 20x din ambele părți.

$$x^{2}+8x+16-20x=-16$$

Combinați 8x cu -20x pentru a obține -12x.

$$x^{2}-12x+16=-16$$

Adăugați 16 la ambele părți.

$$x^{2}-12x+16+16=0$$

Adunați 16 și 16 pentru a obține 32.

$$x^{2}-12x+32=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-12x+32 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-12 ab=32$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 32.

$$-1,-32 -2,-16 -4,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-32=-33 -2-16=-18 -4-8=-12$$

Soluția este perechea care dă suma de -12.

$$a=-8 b=-4$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-8\right)\left(x-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-8=0 și x-4=0.

$$x=8 x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{2}+8x+16=20x-16$$

Scădeți 20x din ambele părți.

$$x^{2}+8x+16-20x=-16$$

Combinați 8x cu -20x pentru a obține -12x.

$$x^{2}-12x+16=-16$$

Adăugați 16 la ambele părți.

$$x^{2}-12x+16+16=0$$

Adunați 16 și 16 pentru a obține 32.

$$x^{2}-12x+32=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+32. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-12 ab=1\times 32=32$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 32.

$$-1,-32 -2,-16 -4,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-32=-33 -2-16=-18 -4-8=-12$$

Soluția este perechea care dă suma de -12.

$$a=-8 b=-4$$

Rescrieți x^{2}-12x+32 ca \left(x^{2}-8x\right)+\left(-4x+32\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(-4x+32\right)$$

Factor x în primul și -4 în al doilea grup.

$$x\left(x-8\right)-4\left(x-8\right)$$

Scoateți termenul comun x-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-8\right)\left(x-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-8=0 și x-4=0.

$$x=8 x=4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{2}+8x+16=20x-16$$

Scădeți 20x din ambele părți.

$$x^{2}+8x+16-20x=-16$$

Combinați 8x cu -20x pentru a obține -12x.

$$x^{2}-12x+16=-16$$

Adăugați 16 la ambele părți.

$$x^{2}-12x+16+16=0$$

Adunați 16 și 16 pentru a obține 32.

$$x^{2}-12x+32=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -12 și c cu 32 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 32}}{2}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 32}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 32.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-128}}{2}$$

Adunați 144 cu -128.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4}{2}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12±4}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±4}{2} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 4.

$$x=\frac{16}{2}$$

Împărțiți 16 la 2.

$$x=8$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±4}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din 12.

$$x=\frac{8}{2}$$

Împărțiți 8 la 2.

$$x=4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=8 x=4$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{2}+8x+16=20x-16$$

Scădeți 20x din ambele părți.

$$x^{2}+8x+16-20x=-16$$

Combinați 8x cu -20x pentru a obține -12x.

$$x^{2}-12x+16=-16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$x^{2}-12x=-16-16$$

Scădeți 16 din -16 pentru a obține -32.

$$x^{2}-12x=-32$$

Împărțiți -12, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -6. Apoi, adunați pătratul lui -6 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-32+\left(-6\right)^{2}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x^{2}-12x+36=-32+36$$

Adunați -32 cu 36.

$$x^{2}-12x+36=4$$

Factor x^{2}-12x+36. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$x-6=2 x-6=-2$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$x=8 x=4$$