Rezolvați (x+3)sqrt{x-1}=0

$$( x + 3 ) \sqrt { x - 1 } = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=1$$

$$x=-3$$

Pașii soluției

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu \sqrt{x-1}.

$$x\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-1}=0$$

Scădeți 3\sqrt{x-1} din ambele părți ale ecuației.

$$x\sqrt{x-1}=-3\sqrt{x-1}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(x\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(-3\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Extindeți \left(x\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(-3\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-1} la puterea 2 și obțineți x-1.

$$x^{2}\left(x-1\right)=\left(-3\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2} cu x-1.

$$x^{3}-x^{2}=\left(-3\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Extindeți \left(-3\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$x^{3}-x^{2}=\left(-3\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculați -3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$x^{3}-x^{2}=9\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-1} la puterea 2 și obțineți x-1.

$$x^{3}-x^{2}=9\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 9 cu x-1.

$$x^{3}-x^{2}=9x-9$$

Scădeți 9x din ambele părți.

$$x^{3}-x^{2}-9x=-9$$

Adăugați 9 la ambele părți.

$$x^{3}-x^{2}-9x+9=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 9 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}-x^{2}-9x+9 la x-1 pentru a obține x^{2}-9. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}-9=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 0 și c cu -9.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-9\right)}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{0±6}{2}$$

Rezolvați ecuația x^{2}-9=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=-3 x=3$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=1 x=-3 x=3$$

Înlocuiți x cu 1 în ecuația \left(x+3\right)\sqrt{x-1}=0.

$$\left(1+3\right)\sqrt{1-1}=0$$

Simplificați. Valoarea x=1 corespunde ecuației.

$$0=0$$

Înlocuiți x cu -3 în ecuația \left(x+3\right)\sqrt{x-1}=0.

$$\left(-3+3\right)\sqrt{-3-1}=0$$

Simplificați. Valoarea x=-3 corespunde ecuației.

$$0=0$$

Înlocuiți x cu 3 în ecuația \left(x+3\right)\sqrt{x-1}=0.

$$\left(3+3\right)\sqrt{3-1}=0$$

Simplificați. Valoarea x=3 nu respectă ecuația.

$$6\times 2^{\frac{1}{2}}=0$$

Enumerați toate soluțiile ecuației \sqrt{x-1}x=-3\sqrt{x-1}.

$$x=1 x=-3$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

Pașii soluției

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu \sqrt{x-1}.

$$x\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-1}=0$$

Scădeți 3\sqrt{x-1} din ambele părți ale ecuației.

$$x\sqrt{x-1}=-3\sqrt{x-1}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(x\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(-3\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Extindeți \left(x\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(-3\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-1} la puterea 2 și obțineți x-1.

$$x^{2}\left(x-1\right)=\left(-3\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2} cu x-1.

$$x^{3}-x^{2}=\left(-3\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Extindeți \left(-3\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$x^{3}-x^{2}=\left(-3\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculați -3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$x^{3}-x^{2}=9\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x-1} la puterea 2 și obțineți x-1.

$$x^{3}-x^{2}=9\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 9 cu x-1.

$$x^{3}-x^{2}=9x-9$$

Scădeți 9x din ambele părți.

$$x^{3}-x^{2}-9x=-9$$

Adăugați 9 la ambele părți.

$$x^{3}-x^{2}-9x+9=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 9 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}-x^{2}-9x+9 la x-1 pentru a obține x^{2}-9. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}-9=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 0 și c cu -9.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-9\right)}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{0±6}{2}$$

Rezolvați ecuația x^{2}-9=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=-3 x=3$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=1 x=-3 x=3$$

Înlocuiți x cu 1 în ecuația \left(x+3\right)\sqrt{x-1}=0.

$$\left(1+3\right)\sqrt{1-1}=0$$

Simplificați. Valoarea x=1 corespunde ecuației.

$$0=0$$

Înlocuiți x cu -3 în ecuația \left(x+3\right)\sqrt{x-1}=0. Expresia \sqrt{-3-1} este nedefinită, deoarece radicand nu poate fi negativ.

$$\left(-3+3\right)\sqrt{-3-1}=0$$

Înlocuiți x cu 3 în ecuația \left(x+3\right)\sqrt{x-1}=0.

$$\left(3+3\right)\sqrt{3-1}=0$$

Simplificați. Valoarea x=3 nu respectă ecuația.

$$6\times 2^{\frac{1}{2}}=0$$

Ecuația \sqrt{x-1}x=-3\sqrt{x-1} are o soluție unică.

$$x=1$$