Rezolvați (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3,428571429$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Să luăm \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 8 la pătrat.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Extindeți \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Combinați x^{2} cu 9x^{2} pentru a obține 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Scădeți 64 din 9 pentru a obține -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Adunați -55 și 1 pentru a obține -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Combinați 10x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Scădeți 9x din ambele părți.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Combinați 6x cu -9x pentru a obține -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Scădeți 18 din ambele părți.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Scădeți 18 din -54 pentru a obține -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 7x^{2}+ax+bx-72. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -504.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=-24 b=21$$

Rescrieți 7x^{2}-3x-72 ca \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right).

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Factor x în primul și 3 în al doilea grup.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Scoateți termenul comun 7x-24 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 7x-24=0 și x+3=0.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Să luăm \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 8 la pătrat.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Extindeți \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Combinați x^{2} cu 9x^{2} pentru a obține 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Scădeți 64 din 9 pentru a obține -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Adunați -55 și 1 pentru a obține -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Combinați 10x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Scădeți 9x din ambele părți.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Combinați 6x cu -9x pentru a obține -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Scădeți 18 din ambele părți.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Scădeți 18 din -54 pentru a obține -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 7, b cu -3 și c cu -72 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -4 cu 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -28 cu -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Adunați 9 cu 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2025.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Înmulțiți 2 cu 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±45}{14} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Reduceți fracția \frac{48}{14} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{24}{7}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±45}{14} atunci când ± este minus. Scădeți 45 din 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Împărțiți -42 la 14.

$$x=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Să luăm \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 8 la pătrat.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Extindeți \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Combinați x^{2} cu 9x^{2} pentru a obține 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Scădeți 64 din 9 pentru a obține -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Adunați -55 și 1 pentru a obține -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Combinați 10x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Scădeți 9x din ambele părți.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Combinați 6x cu -9x pentru a obține -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Adăugați 54 la ambele părți.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Adunați 18 și 54 pentru a obține 72.

$$7x^{2}-3x=72$$

Se împart ambele părți la 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

Împărțirea la 7 anulează înmulțirea cu 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Împărțiți -\frac{3}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{14}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{14} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{14} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Adunați \frac{72}{7} cu \frac{9}{196} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Adunați \frac{3}{14} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$