Rezolvați (x+1)^2-5x(x+1)=0

$$( x + 1 ) ^ { 2 } - 5 x ( x + 1 ) = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5x cu x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Combinați x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Combinați 2x cu -5x pentru a obține -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -4x^{2}+ax+bx+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -4.

$$1,-4 2,-2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=1 b=-4$$

Rescrieți -4x^{2}-3x+1 ca \left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Factor -x în primul și -1 în al doilea grup.

$$-x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 4x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-1\right)\left(-x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4x-1=0 și -x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5x cu x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Combinați x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Combinați 2x cu -5x pentru a obține -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -4, b cu -3 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

Adunați 9 cu 16.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$x=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -4.

$$x=\frac{3±5}{-8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±5}{-8} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 5.

$$x=\frac{8}{-8}$$

Împărțiți 8 la -8.

$$x=-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±5}{-8} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din 3.

$$x=-\frac{2}{-8}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{-8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1 x=\frac{1}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5x cu x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Combinați x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Combinați 2x cu -5x pentru a obține -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-4x^{2}-3x=-1$$

Se împart ambele părți la -4.

$$\frac{-4x^{2}-3x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Împărțirea la -4 anulează înmulțirea cu -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)x=-\frac{1}{-4}$$

Împărțiți -3 la -4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{1}{-4}$$

Împărțiți -1 la -4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}$$

Împărțiți \frac{3}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Adunați \frac{1}{4} cu \frac{9}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Scădeți \frac{3}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$