Rezolvați (v-7)=5v(v-7)

$$( v - 7 ) = 5 v ( v - 7 )$$

Rezolvați pentru v

$$v=7$$

$$v=\frac{1}{5}=0,2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5v cu v-7.

$$v-7=5v^{2}-35v$$

Scădeți 5v^{2} din ambele părți.

$$v-7-5v^{2}=-35v$$

Adăugați 35v la ambele părți.

$$v-7-5v^{2}+35v=0$$

Combinați v cu 35v pentru a obține 36v.

$$36v-7-5v^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-5v^{2}+36v-7=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -5v^{2}+av+bv-7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=36 ab=-5\left(-7\right)=35$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 35.

$$1,35 5,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+35=36 5+7=12$$

Soluția este perechea care dă suma de 36.

$$a=35 b=1$$

Rescrieți -5v^{2}+36v-7 ca \left(-5v^{2}+35v\right)+\left(v-7\right).

$$\left(-5v^{2}+35v\right)+\left(v-7\right)$$

Factor 5v în primul și -1 în al doilea grup.

$$5v\left(-v+7\right)-\left(-v+7\right)$$

Scoateți termenul comun -v+7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-v+7\right)\left(5v-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -v+7=0 și 5v-1=0.

$$v=7 v=\frac{1}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5v cu v-7.

$$v-7=5v^{2}-35v$$

Scădeți 5v^{2} din ambele părți.

$$v-7-5v^{2}=-35v$$

Adăugați 35v la ambele părți.

$$v-7-5v^{2}+35v=0$$

Combinați v cu 35v pentru a obține 36v.

$$36v-7-5v^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-5v^{2}+36v-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -5, b cu 36 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\left(-5\right)\left(-7\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Ridicați 36 la pătrat.

$$v=\frac{-36±\sqrt{1296-4\left(-5\right)\left(-7\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -5.

$$v=\frac{-36±\sqrt{1296+20\left(-7\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 20 cu -7.

$$v=\frac{-36±\sqrt{1296-140}}{2\left(-5\right)}$$

Adunați 1296 cu -140.

$$v=\frac{-36±\sqrt{1156}}{2\left(-5\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1156.

$$v=\frac{-36±34}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -5.

$$v=\frac{-36±34}{-10}$$

Acum rezolvați ecuația v=\frac{-36±34}{-10} atunci când ± este plus. Adunați -36 cu 34.

$$v=-\frac{2}{-10}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{-10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$v=\frac{1}{5}$$

Acum rezolvați ecuația v=\frac{-36±34}{-10} atunci când ± este minus. Scădeți 34 din -36.

$$v=-\frac{70}{-10}$$

Împărțiți -70 la -10.

$$v=7$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$v=\frac{1}{5} v=7$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5v cu v-7.

$$v-7=5v^{2}-35v$$

Scădeți 5v^{2} din ambele părți.

$$v-7-5v^{2}=-35v$$

Adăugați 35v la ambele părți.

$$v-7-5v^{2}+35v=0$$

Combinați v cu 35v pentru a obține 36v.

$$36v-7-5v^{2}=0$$

Adăugați 7 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$36v-5v^{2}=7$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-5v^{2}+36v=7$$

Se împart ambele părți la -5.

$$\frac{-5v^{2}+36v}{-5}=\frac{7}{-5}$$

Împărțirea la -5 anulează înmulțirea cu -5.

$$v^{2}+\frac{36}{-5}v=\frac{7}{-5}$$

Împărțiți 36 la -5.

$$v^{2}-\frac{36}{5}v=\frac{7}{-5}$$

Împărțiți 7 la -5.

$$v^{2}-\frac{36}{5}v=-\frac{7}{5}$$

Împărțiți -\frac{36}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{18}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{18}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$v^{2}-\frac{36}{5}v+\left(-\frac{18}{5}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(-\frac{18}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{18}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$v^{2}-\frac{36}{5}v+\frac{324}{25}=-\frac{7}{5}+\frac{324}{25}$$

Adunați -\frac{7}{5} cu \frac{324}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$v^{2}-\frac{36}{5}v+\frac{324}{25}=\frac{289}{25}$$

Factor v^{2}-\frac{36}{5}v+\frac{324}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-\frac{18}{5}\right)^{2}=\frac{289}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(v-\frac{18}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{25}}$$

Simplificați.

$$v-\frac{18}{5}=\frac{17}{5} v-\frac{18}{5}=-\frac{17}{5}$$

Adunați \frac{18}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$v=7 v=\frac{1}{5}$$