Rezolvați (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Rezolvați pentru v

$$v=-1$$

$$v=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Scădeți 2v^{2} din ambele părți.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Combinați v^{2} cu -2v^{2} pentru a obține -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Scădeți 2v din ambele părți.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Combinați 8v cu -2v pentru a obține 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Scădeți 9 din ambele părți.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Scădeți 9 din 16 pentru a obține 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -v^{2}+av+bv+7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=7 b=-1$$

Rescrieți -v^{2}+6v+7 ca \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

Factor -v în primul și -1 în al doilea grup.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

Scoateți termenul comun v-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați v-7=0 și -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Scădeți 2v^{2} din ambele părți.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Combinați v^{2} cu -2v^{2} pentru a obține -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Scădeți 2v din ambele părți.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Combinați 8v cu -2v pentru a obține 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Scădeți 9 din ambele părți.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Scădeți 9 din 16 pentru a obține 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 6 și c cu 7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 36 cu 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația v=\frac{-6±8}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

Împărțiți 2 la -2.

$$v=-1$$

Acum rezolvați ecuația v=\frac{-6±8}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

Împărțiți -14 la -2.

$$v=7$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$v=-1 v=7$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Scădeți 2v^{2} din ambele părți.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Combinați v^{2} cu -2v^{2} pentru a obține -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Scădeți 2v din ambele părți.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Combinați 8v cu -2v pentru a obține 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

Scădeți 16 din 9 pentru a obține -7.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

Împărțiți 6 la -1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

Împărțiți -7 la -1.

$$v^{2}-6v=7$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Adunați 7 cu 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Factor v^{2}-6v+9. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplificați.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$v=7 v=-1$$