Rezolvați (a-2b)^{2}(a+2b)^2-(a^2+4b^2)^2

$$( a - 2 b ) ^ { 2 } ( a + 2 b ) ^ { 2 } - ( a ^ { 2 } + 4 b ^ { 2 } ) ^ { 2 }$$

Evaluați

$$-16\left(ab\right)^{2}$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(p-q\right)^{2}=p^{2}-2pq+q^{2} pentru a extinde \left(a-2b\right)^{2}.

$$\left(a^{2}-4ab+4b^{2}\right)\left(a+2b\right)^{2}-\left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} pentru a extinde \left(a+2b\right)^{2}.

$$\left(a^{2}-4ab+4b^{2}\right)\left(a^{2}+4ab+4b^{2}\right)-\left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți a^{2}-4ab+4b^{2} cu a^{2}+4ab+4b^{2} și a combina termenii similari.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} pentru a extinde \left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(\left(a^{2}\right)^{2}+8a^{2}b^{2}+16\left(b^{2}\right)^{2}\right)$$

Pentru a ridica o putere la o altă putere, înmulțiți exponenții. Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(a^{4}+8a^{2}b^{2}+16\left(b^{2}\right)^{2}\right)$$

Pentru a ridica o putere la o altă putere, înmulțiți exponenții. Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(a^{4}+8a^{2}b^{2}+16b^{4}\right)$$

Pentru a găsi opusul lui a^{4}+8a^{2}b^{2}+16b^{4}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-a^{4}-8a^{2}b^{2}-16b^{4}$$

Combinați a^{4} cu -a^{4} pentru a obține 0.

$$-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-8a^{2}b^{2}-16b^{4}$$

Combinați -8a^{2}b^{2} cu -8a^{2}b^{2} pentru a obține -16a^{2}b^{2}.

$$-16a^{2}b^{2}+16b^{4}-16b^{4}$$

Combinați 16b^{4} cu -16b^{4} pentru a obține 0.

$$-16a^{2}b^{2}$$

Extindere

$$-16\left(ab\right)^{2}$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(p-q\right)^{2}=p^{2}-2pq+q^{2} pentru a extinde \left(a-2b\right)^{2}.

$$\left(a^{2}-4ab+4b^{2}\right)\left(a+2b\right)^{2}-\left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} pentru a extinde \left(a+2b\right)^{2}.

$$\left(a^{2}-4ab+4b^{2}\right)\left(a^{2}+4ab+4b^{2}\right)-\left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți a^{2}-4ab+4b^{2} cu a^{2}+4ab+4b^{2} și a combina termenii similari.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} pentru a extinde \left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(\left(a^{2}\right)^{2}+8a^{2}b^{2}+16\left(b^{2}\right)^{2}\right)$$

Pentru a ridica o putere la o altă putere, înmulțiți exponenții. Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(a^{4}+8a^{2}b^{2}+16\left(b^{2}\right)^{2}\right)$$

Pentru a ridica o putere la o altă putere, înmulțiți exponenții. Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(a^{4}+8a^{2}b^{2}+16b^{4}\right)$$

Pentru a găsi opusul lui a^{4}+8a^{2}b^{2}+16b^{4}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-a^{4}-8a^{2}b^{2}-16b^{4}$$

Combinați a^{4} cu -a^{4} pentru a obține 0.

$$-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-8a^{2}b^{2}-16b^{4}$$

Combinați -8a^{2}b^{2} cu -8a^{2}b^{2} pentru a obține -16a^{2}b^{2}.

$$-16a^{2}b^{2}+16b^{4}-16b^{4}$$

Combinați 16b^{4} cu -16b^{4} pentru a obține 0.

$$-16a^{2}b^{2}$$