Rezolvați (a^2+1)(c^2+1)=(ac-1)^2+(a+c)^2

$$( a ^ { 2 } + 1 ) ( c ^ { 2 } + 1 ) = ( a c - 1 ) ^ { 2 } + ( a + c ) ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru a (complex solution)

$$a\in \mathrm{C}$$

Pașii soluției

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți a^{2}+1 cu c^{2}+1.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=\left(ac-1\right)^{2}+\left(a+c\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(ac-1\right)^{2}.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=a^{2}c^{2}-2ac+1+\left(a+c\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(a+c\right)^{2}.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=a^{2}c^{2}-2ac+1+a^{2}+2ac+c^{2}$$

Combinați -2ac cu 2ac pentru a obține 0.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=a^{2}c^{2}+1+a^{2}+c^{2}$$

Scădeți a^{2}c^{2} din ambele părți.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1-a^{2}c^{2}=1+a^{2}+c^{2}$$

Combinați a^{2}c^{2} cu -a^{2}c^{2} pentru a obține 0.

$$a^{2}+c^{2}+1=1+a^{2}+c^{2}$$

Scădeți a^{2} din ambele părți.

$$a^{2}+c^{2}+1-a^{2}=1+c^{2}$$

Combinați a^{2} cu -a^{2} pentru a obține 0.

$$c^{2}+1=1+c^{2}$$

Reordonați termenii.

$$\text{true}$$

Este adevărat pentru orice a.

$$a\in \mathrm{C}$$

Rezolvați pentru c (complex solution)

$$c\in \mathrm{C}$$

Pașii soluției

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți a^{2}+1 cu c^{2}+1.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=\left(ac-1\right)^{2}+\left(a+c\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(p-q\right)^{2}=p^{2}-2pq+q^{2} pentru a extinde \left(ac-1\right)^{2}.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=a^{2}c^{2}-2ac+1+\left(a+c\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} pentru a extinde \left(a+c\right)^{2}.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=a^{2}c^{2}-2ac+1+a^{2}+2ac+c^{2}$$

Combinați -2ac cu 2ac pentru a obține 0.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=a^{2}c^{2}+1+a^{2}+c^{2}$$

Scădeți a^{2}c^{2} din ambele părți.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1-a^{2}c^{2}=1+a^{2}+c^{2}$$

Combinați a^{2}c^{2} cu -a^{2}c^{2} pentru a obține 0.

$$a^{2}+c^{2}+1=1+a^{2}+c^{2}$$

Scădeți c^{2} din ambele părți.

$$a^{2}+c^{2}+1-c^{2}=1+a^{2}$$

Combinați c^{2} cu -c^{2} pentru a obține 0.

$$a^{2}+1=1+a^{2}$$

Reordonați termenii.

$$\text{true}$$

Este adevărat pentru orice c.

$$c\in \mathrm{C}$$

Rezolvați pentru a

$$a\in \mathrm{R}$$

Pașii soluției

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți a^{2}+1 cu c^{2}+1.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=\left(ac-1\right)^{2}+\left(a+c\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(ac-1\right)^{2}.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=a^{2}c^{2}-2ac+1+\left(a+c\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(a+c\right)^{2}.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=a^{2}c^{2}-2ac+1+a^{2}+2ac+c^{2}$$

Combinați -2ac cu 2ac pentru a obține 0.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=a^{2}c^{2}+1+a^{2}+c^{2}$$

Scădeți a^{2}c^{2} din ambele părți.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1-a^{2}c^{2}=1+a^{2}+c^{2}$$

Combinați a^{2}c^{2} cu -a^{2}c^{2} pentru a obține 0.

$$a^{2}+c^{2}+1=1+a^{2}+c^{2}$$

Scădeți a^{2} din ambele părți.

$$a^{2}+c^{2}+1-a^{2}=1+c^{2}$$

Combinați a^{2} cu -a^{2} pentru a obține 0.

$$c^{2}+1=1+c^{2}$$

Reordonați termenii.

$$\text{true}$$

Este adevărat pentru orice a.

$$a\in \mathrm{R}$$

Rezolvați pentru c

$$c\in \mathrm{R}$$

Pașii soluției

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți a^{2}+1 cu c^{2}+1.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=\left(ac-1\right)^{2}+\left(a+c\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(p-q\right)^{2}=p^{2}-2pq+q^{2} pentru a extinde \left(ac-1\right)^{2}.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=a^{2}c^{2}-2ac+1+\left(a+c\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} pentru a extinde \left(a+c\right)^{2}.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=a^{2}c^{2}-2ac+1+a^{2}+2ac+c^{2}$$

Combinați -2ac cu 2ac pentru a obține 0.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1=a^{2}c^{2}+1+a^{2}+c^{2}$$

Scădeți a^{2}c^{2} din ambele părți.

$$a^{2}c^{2}+a^{2}+c^{2}+1-a^{2}c^{2}=1+a^{2}+c^{2}$$

Combinați a^{2}c^{2} cu -a^{2}c^{2} pentru a obține 0.

$$a^{2}+c^{2}+1=1+a^{2}+c^{2}$$

Scădeți c^{2} din ambele părți.

$$a^{2}+c^{2}+1-c^{2}=1+a^{2}$$

Combinați c^{2} cu -c^{2} pentru a obține 0.

$$a^{2}+1=1+a^{2}$$

Reordonați termenii.

$$\text{true}$$

Este adevărat pentru orice c.

$$c\in \mathrm{R}$$