Rezolvați (a+12)(a-4)=2a(a-4)

$$( a + 12 ) ( a - 4 ) = 2 a ( a - 4 )$$

Rezolvați pentru a

$$a=12$$

$$a=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți a+12 cu a-4 și a combina termenii similari.

$$a^{2}+8a-48=2a\left(a-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2a cu a-4.

$$a^{2}+8a-48=2a^{2}-8a$$

Scădeți 2a^{2} din ambele părți.

$$a^{2}+8a-48-2a^{2}=-8a$$

Combinați a^{2} cu -2a^{2} pentru a obține -a^{2}.

$$-a^{2}+8a-48=-8a$$

Adăugați 8a la ambele părți.

$$-a^{2}+8a-48+8a=0$$

Combinați 8a cu 8a pentru a obține 16a.

$$-a^{2}+16a-48=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca -a^{2}+aa+ba-48. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=16 ab=-\left(-48\right)=48$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Enumerați toate perechile întregi care oferă 48 de produs.

$$1,48 2,24 3,16 4,12 6,8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+48=49 2+24=26 3+16=19 4+12=16 6+8=14$$

Soluția este perechea care dă suma de 16.

$$a=12 b=4$$

Rescrieți -a^{2}+16a-48 ca \left(-a^{2}+12a\right)+\left(4a-48\right).

$$\left(-a^{2}+12a\right)+\left(4a-48\right)$$

Scoateți scoateți factorul -a din primul și 4 din cel de-al doilea grup.

$$-a\left(a-12\right)+4\left(a-12\right)$$

Scoateți termenul comun a-12 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(a-12\right)\left(-a+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați a-12=0 și -a+4=0.

$$a=12 a=4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți a+12 cu a-4 și a combina termenii similari.

$$a^{2}+8a-48=2a\left(a-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2a cu a-4.

$$a^{2}+8a-48=2a^{2}-8a$$

Scădeți 2a^{2} din ambele părți.

$$a^{2}+8a-48-2a^{2}=-8a$$

Combinați a^{2} cu -2a^{2} pentru a obține -a^{2}.

$$-a^{2}+8a-48=-8a$$

Adăugați 8a la ambele părți.

$$-a^{2}+8a-48+8a=0$$

Combinați 8a cu 8a pentru a obține 16a.

$$-a^{2}+16a-48=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 16 și c cu -48 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-1\right)\left(-48\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 16 la pătrat.

$$a=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-1\right)\left(-48\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$a=\frac{-16±\sqrt{256+4\left(-48\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -48.

$$a=\frac{-16±\sqrt{256-192}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 256 cu -192.

$$a=\frac{-16±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$a=\frac{-16±8}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$a=\frac{-16±8}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{-16±8}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -16 cu 8.

$$a=-\frac{8}{-2}$$

Împărțiți -8 la -2.

$$a=4$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{-16±8}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din -16.

$$a=-\frac{24}{-2}$$

Împărțiți -24 la -2.

$$a=12$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$a=4 a=12$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți a+12 cu a-4 și a combina termenii similari.

$$a^{2}+8a-48=2a\left(a-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2a cu a-4.

$$a^{2}+8a-48=2a^{2}-8a$$

Scădeți 2a^{2} din ambele părți.

$$a^{2}+8a-48-2a^{2}=-8a$$

Combinați a^{2} cu -2a^{2} pentru a obține -a^{2}.

$$-a^{2}+8a-48=-8a$$

Adăugați 8a la ambele părți.

$$-a^{2}+8a-48+8a=0$$

Combinați 8a cu 8a pentru a obține 16a.

$$-a^{2}+16a-48=0$$

Adăugați 48 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$-a^{2}+16a=48$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-a^{2}+16a}{-1}=\frac{48}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$a^{2}+\frac{16}{-1}a=\frac{48}{-1}$$

Împărțiți 16 la -1.

$$a^{2}-16a=\frac{48}{-1}$$

Împărțiți 48 la -1.

$$a^{2}-16a=-48$$

Împărțiți -16, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -8. Apoi, adunați pătratul lui -8 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}-16a+\left(-8\right)^{2}=-48+\left(-8\right)^{2}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$a^{2}-16a+64=-48+64$$

Adunați -48 cu 64.

$$a^{2}-16a+64=16$$

Factorul a^{2}-16a+64. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-8\right)^{2}=16$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a-8\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplificați.

$$a-8=4 a-8=-4$$

Adunați 8 la ambele părți ale ecuației.

$$a=12 a=4$$